169
n-z – число степеней свободы;
z – число параметров уравнения тренда.
Если t = Т+L, то уравнение (6.77) определяет значение доверительного интервала для тренда, продленного на период упреждения прогноза L (на L единиц времени).
Взаключение отметим, что прогнозирование – система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тенденции развития процесса
ипоиск оптимальных путей достижения целей этого развития.
Внастоящее время прогнозирование опирается на развитый математико-статистический инструментарий и сотни моделей прогнозирования, которые в большинстве своем реализованы в программных продуктах.
Втабличном процессоре MS Exsel для прогнозирования имеется встроенная функция ПРЕДСКАЗ(…), с помощью которой осуществляется прогнозирование на основе линейной модели тренда.
Вматематическом процессоре Mathcad с помощью функции predict (…) возможно выполнить предсказание с учетом характера поведения прогнозируемой функции на периоде основания прогноза.
Более мощные средства прогнозирования с оценкой точности прогноза содержат статистические пакеты
STATISTICA и SPSS.
6.4Исследование связи процессов в системе эксплуатации с использованием взаимосвязанных динамических рядов
6.4.1Сущность и задачи исследования взаимосвязанных
динамических рядов
Известно, что многие процессы, протекающие в системе эксплуатации вооружения КВ, оказывают влияние друг на друга. Например, ряд уровней расходов на техническое обслуживание вооружение КВ оказывает влияние на частоту отказов, ряды уровней температуры и влажности воздуха в сооружении РКК - на показатели свойств вооружение КВ и т.д.
В динамических рядах, описывающих финансовоэкономическую компоненту эксплуатации вооружения КВ, существует взаимосвязь между близко расположенные уровнями одного и того же ряда (так называемая автокорреляция).
170
Математическая статистика позволяет не только выявить эту взаимосвязь, но и определить временной сдвиг, когда изменения одного ряда вызывают изменения другого ряда
Под взаимосвязанными динамическими рядами пони-
мают такие ряды, в которых уровни одного ряда определяют в какой-либо степени уровни другого ряда. Если Y1 и Y2 представляют собой динамические ряды, то следует установить: 1) являются ли эти ряды взаимосвязанными; 2) если являются, то определить, как быстро изменения одного ряда приводят к изменению другого ряда.
Задача исследования – установить меру зависимости между динамическими рядами Y1t(t = 1,T ) и Y2t(t = 1,T ), или
Y1 и Y2, где t = 1, 2,…T – единица времени (секунда, минута, час, сутки и т.д.), T – длина динамического ряда (длина взаимосвязанных динамических рядов должна быть равной).
Наличие связи между рядами характеризуется эмпирическим коэффициентом корреляции
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y1t |
|
1 )( y2t |
|
2 ) |
|
|
|
|
y |
y |
|
||||||
r |
|
t 1 |
|
. |
(6.78) |
||||
|
|
||||||||
Y1Y 2 |
|
(T |
1) Y1 Y 2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
Средние значения и средние квадратические отклонения динамических рядов определяются по формулам соответственно:
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
y1 |
|
|
y1t и |
y2 |
|
y2t ; |
(6.79) |
||||||
|
|
T |
T |
|||||||||||
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
t 1 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
Y1 |
|
|
y1t y1 |
2 и Y 2 |
y2t y2 |
2 . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
T 1 t 1 |
|
|
|
|
|
T 1 t 1 |
|
||||||
(6.80)
Если r= 0,8 – 0,9, то независимо от вида связи (линейная, нелинейная), она достаточна тесна для того, чтобы исследовать ее форму.
Совпадение общих тенденций во взаимосвязанных временных рядах, чаще всего, зависит не от взаимной связи, а от неучитываемых факторов.
С целью исключения влияния автокорреляции в самих рядах динамики предварительно необходимо освободится от их тенденций, после чего анализ взаимосвязи проводится по отклонениям от трендов.
171
Оценка степени взаимосвязи отклонений в динамических рядах производится расчетом коэффициента корреляции
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|||||
r |
t 1 |
|
|
|
|
, |
(6.81) |
|
T |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
t = y1t – y1f ; |
(6.82) |
|||||||
t = y2t – y2f , |
|
(6.83) |
||||||
где t, t -отклонения от тенденций по рядам Y1t |
и Y2t соот- |
|||||||
ветственно;
y1f, y2f – тенденции (тренды) рядов;
- средние квадратические отклонения, определяемые по величинам t и t.
Выдвигается гипотеза, что увеличение (уменьшение) ряда Y2 в зависимости от изменений ряда Y1 в большей мере может проявиться в последующих периодах.
Для проверки данной гипотезы производится расчет коэффициентов корреляции между отклонением ряда Y1 в t - ой единице времени и отклонением ряда Y2 в (t+i) - ой единице времени
T i
t t i
ri |
|
t 1 |
|
|
|
, |
(6.84) |
(T i) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
где i = 0, 1, … - временной сдвиг.
При i = 0 формула (6.84) преобразуется в формулу (6.81). Последовательность величин ri (i = 0, 1,…) выражает
поведение так называемой нормированной взаимнокорреляционной функции.
Интервал временного сдвига, соответствующий максимальной корреляции отклонений от тенденций, называется временным лагом или лагом. Физический смысл лага заключается в следующем, если в какой-то момент времени были привлечены (или изъяты) дополнительные ресурсы, то их максимальная отдача (или ущерб) проявится через интервал, равный лагу.
Задачи исследования взаимосвязанных динамических рядов:
установить наличие взаимосвязи между динамическими рядами;
провести анализ влияния показателей одного свойства на показатели другого свойства;
172
определить временной лаг, соответствующий максимальному влиянию одного ряда на другой.
6.4.2 Алгоритм исследования взаимосвязанных динамических рядов
Исследование взаимосвязанных динамических рядов проведем на конкретном примере. Интервалы времени t и соответствующие им уровни динамических рядов Y1 и Y2 приведены в строках 1 – 3 таблицы 6.10. Следует выполнить исследование взаимосвязанных динамических рядов, т.е. установить наличие взаимосвязи и, если она есть, рассчитать величину временного лага.
Алгоритм исследования (расчета):
1)расчет средних значений динамических рядов y1 =
24,90 и y2 = 35,65 (по ф. (6.79)): ячейка «Результаты – 2»22;
2)расчет средних квадратических отклонений динамических рядов Y1 = 10,92 и Y2 = 12,04 (по ф. (6.80)): ячейка «Результаты – 3»;
3)расчет коэффициента корреляции rY1Y2 = 0,9832 (по ф. (6.78)): ячейка 4 –1. Вывод: между рядами существует достаточно тесная связь;
4)выбор вида уравнений тренда, расчет коэффициентов уравнений тренда, проверка точности уравнений тренда.
Вкачестве уравнений трендов выбраны линейные уравнения:
y1f = 3,603.t + 5,08; |
(6.85) |
|
y2f |
= 3,9081.t + 14,156. |
(6.86) |
Для рядов Y1 |
и Y2 коэффициенты детерминации R2 соот- |
|
ветственно равны 0,9988 и 0,9655. Вывод: уравнения трендов имеют высокую точность;
22 «Результаты» - наименование столбца таблицы; «2» – номер строки таблицы
173
|
|
|
|
174 |
|
|
|
|
|
|
5) построение графиков самих рядов Y1 |
и Y2 и их |
|||||||||
трендов (рисунок 6.32). Построение выполнено с использова- |
||||||||||
нием табличного процессора MS Exsel; |
|
|
|
|
||||||
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
Y2f = 3,908t + 14,156 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 = 0,9655 |
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1,Y2 |
30 |
|
|
|
|
|
|
Y1f = 3,6036t + 5,08 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
R2 = 0,9988 |
||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
Время t |
|
|
|
|
|
Рисунок 6.32 - Динамические ряды Y1, Y2 |
и их тренды Y1f, Y2f |
|||||||||
6)расчет уровней динамических рядов по уравнени-
ям тренда y1f и y2f для соответствующих моментов времени (по ф. (6.85) и (6.86)): строки 5 и 6 таблицы 6.10;
7)расчет отклонений t и t (по ф. (6.82) и (6.83)): строки 7 и 8 таблицы 6.10.
8)расчет средних квадратических отклонений и (по ф. (6.80)): ячейки «Результаты – 7, 8) таблицы 6.10;
9)расчет произведений отклонений t t-i и их суммt t-i, где i = 0, 1, …, 5 – временной сдвиг: строки 9 - 14 таб-
лицы 6.10;
10)расчет коэффициентов корреляции ri (по ф. (6.84))
11)построение графика зависимости коэффициентов корреляции ri от интервала временного сдвига i (рисунок 6.33);
ri |
1,0 |
|
|
|
|
|
0,7790 |
корреляции |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,6 |
|
|
|
0,4069 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
||
|
0,1868 |
|
|
|
0,1134 |
||
0,2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
-0,2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
-0,4 |
|
-0,6935 |
|
|
Лаг = 4 |
||
-0,6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
-0,8 |
|
|
|
-0,7464 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Временной сдвиг i |
|
|
|
Рисунок 6.33 - График зависимости ri от временного сдвига i
175
12)определение лага на основании анализа рисунка
6.33(лаг равен 4 ед. времени);
13)построение графика зависимости Y2 и Y1 и расчет по МНК коэффициентов уравнения регрессии23 между ними
(рис. 6.34)
|
|
|
|
Y2 = 1,0845Y1 + 8,6457. |
|
(6.87) |
|||
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
30 |
|
|
|
|
|
y2 = 1,0845y1 + 8,6457 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
20 |
|
|
|
|
|
R2 |
= 0,9667 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
|
|
|
|
|
Y1 |
|
|
|
|
|
Рисунок 6.34 - График регрессионной зависимости между Y2 |
и Y1 |
|||||||
Выводы:
1 Максимальное влияние первого ряда на второй будет проявляться через 4 единицы времени.
2 Изменение первого ряда на 1,0 (100%) приведет к увеличению среднего значения второго ряда на 1,08 (108,5%).
Использование математического аппарата исследования взаимосвязанных динамических рядов позволяет выявить влияние одних эксплуатационных свойств на другие, если эти свойства представлены динамическими рядами, а также одних процессов, протекающих в системе эксплуатации, на другие и количественно оценить это влияние.
Взаимосвязанные динамические ряды позволяют заблаговременно планировать и проводить эксплуатационные процессы, добиваясь не только максимального влияния одного ряда на другой, но и прогнозировать проявления этого влияния.
23 Регрессия [лат. regressio – обратное движение, отход] – зависимость среднего значения (математического ожидания) какой-либо величины от некоторой другой величины или нескольких величин. Уравнение регрессии случайной величины Y на случайную величину
Х имеет вид y my |
|
y |
x mx , где mx, my, х , у – математические |
|
x |
||||
|
|
|
ожидания и средние квадратические отклонения случайных величин Х и Y; - коэффициент корреляции.