93

одинаковых условиях, состоятельные и несмещенные оценки математических ожиданий x и y , дисперсий Dx и Dy опре-

деляются по формулам (5.1) – (5.6), а оценки корреляционного момента и коэффициента корреляции по формулам:

Расчеты указанных статистических оценок при использовании табличного процессора Microsoft Excel производятся по статистическим функциям: оценка МО - СРЗНАЧ(Число1, Число2,… или Массив); оценка дисперсии – ДИСП(Число1, Число2,… или Массив); оценка СКО - СТАНДОТКЛОН(Число1, Число2,…или Массив); оценка коэффициента корреляции – КОРРЕЛ(Массив1; Массив 2).

5.3 Определение точности и надежности оценок

Вероятность того, искомый параметр будет иметь отклонение по абсолютной величине не более заданного значе-

ния , называется доверительной вероятностью, а интервал величиной 2 (от до искомый параметр, - доверительным интервалом.

Доверительный интервал характеризует точность статистической оценки, а доверительная вероятность – ее надежность. При заданном числе опытов каждому доверительному интервалу соответствует доверительная вероятность, и наоборот. Повысить надежность статистической оценки, т.е. увеличить доверительную вероятность или сузить доверительный интервал при сохранении надежности, возможно только увеличением числа опытов.

Для случайных величин, распределенных по нормальному закону, доверительная вероятность и половина доверительного интервала для математического ожидания при известном СКО находятся по формулам:

Ф 1 - обратная функция Лапласа.

Доверительный интервал для математического ожидания в Excel определяется функцией ДОВЕРИТ(Значение доверительной вероятности; СКО; Массив).

5.4 Оценка погрешности расчетов

Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть разбиты на пять групп.

1 Погрешности метода. Математическая модель не может отображать реальное явление точно. Допущения и ограничения по условиям и учитываемым факторам упрощают математическую модель, но делают ее приближенной, что в результате и дает погрешность метода.

Возможными путями в оценке погрешности метода могут быть использование более совершенных моделей и сравнение с экспериментальными данными.

2 Остаточная погрешность. Погрешности этой группы являются результатом того, что функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов (например,

вить на конечном числе членов последовательности.

3 Начальные погрешности. Так условно названы по-

грешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно.

4 Погрешности округления. Эти погрешности возни-

кают вследствие использования конечного числа цифр при изображении чисел в десятичной или другой системе счисления (например, полагая 1/3 = 0,333, допускаем погрешности округления).

5 Погрешности действия. Погрешности этой группы связаны с действиями над приближенными числами и являют-

95

ся неустранимыми, так как погрешности исходных данных в определенной мере переходят в результат вычислений.

5.5 Запись приближенных чисел

Во многих случаях невозможно найти точное значение величины числа и приходится довольствоваться его приближенным значением. Кроме того, часто сознательно заменяется точное значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Приближенным числом x называется число, незначительно отличающееся от точного числа x0 и заменяющее последнее в вычислениях.

Если x < x0, то говорят, что число x является приближенным значением числа x0 по недостатку; если x > x0 – приближенным значением по избытку.

Степень точности приближения характеризуют абсолютной и относительной погрешностями.

Абсолютная и относительная погрешности опреде-

ляются по формулам:

где х0 – точное значение величины; х – приближенное значение.

Обычно точное значение величины неизвестно. В этом случае находят предельную абсолютную погрешность, кото-

рая не меньше абсолютной погрешности, т.е.

а в формуле относительной погрешности х0 заменяют на х

Определяющим точность вычислений является не число десятичных знаков, а число значащих цифр результата. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда точности. Нули, стоящие левее первой отличной от нуля цифры, не являются значащими цифрами.