176
6.5 Статистическая оценка показателей эксплуатационных свойств вооружения КВ
В процессе эксплуатации вооружения КВ накапливается информация по ряду показателей эксплуатационных свойств, например, число отказов, наработка на отказ, время технического обслуживания, время восстановления, время выполнения типовой технологической операции, время поиска неисправности и др.
Для специалиста по эксплуатации вооружения КВ, эти данные – источник информации для совершенствования системы эксплуатации. Для того чтобы эти наборы данных «заговорили», их необходимо подвергнуть соответствующей статистической обработке.
Для получения статистически достоверной информации по показателям эксплуатационных свойств вооружения КВ или процесса необходимо решить три взаимосвязанных задачи:
выбор закона распределения случайной величины (СВ);
расчет параметров распределения СВ;
проверка правдоподобия гипотезы о выборе закона распределения СВ.
6.5.1Выбор закона распределения случайной величины
Имеется случайная величина Х или xi i 1, n , закон распределения которой неизвестен. Ансамбль значений x1 , x2 ,..., xn , подлежащий статистической обработке и анализу,
называется простой статистической совокупностью или про-
стым статистическим рядом. Удобно простую статистическую совокупность представлять в виде таблицы (таблица 6.10).
Таблица 6.10 - Простая статистическая совокупность (простой статистический ряд)
i |
1 |
2 |
… |
i |
… |
n-1 |
n |
xi |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn-1 |
xn |
Обозначения: i – номер опыта;
xi – значение случайной величины в i-ом опыте; n – число опытов.
Одним из наиболее распространенных способов обработки простой статистической совокупности является расчет и построение графика статистической функции распределения СВ Х.
177
Статистической функцией распределения СВ Х назы-
вается частота события (Х < х) в данной простой статистической совокупности, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F * (x) P* (X x) . |
|
|
|
(6.88) |
|||||
|
|
|
В дальнейшем будем полагать, что значения случайной |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
величины |
расположены |
||||||
|
|
|
|
|
|
* |
(xi) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
по |
возрастанию. |
Для |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения значения |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
статистической |
функ- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции |
распределения при |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1/n |
|
|
|
|
|
|
|
данном |
х |
необходимо |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
посчитать |
число |
опы- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тов, |
в |
которых |
СВ Х |
|
x1 x2 |
0 |
|
|
xn |
x |
||||||||||||||||||
|
|
приняла |
|
значение, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рисунок 6.35 - График статистической меньшее чем х, и разде-
функции распределения |
лить на число опытов n. |
|
График статистической функции распределения любой СВ – дискретной и непрерывной – представляет собой прерывистую ступенчатую функцию (рисунок 6.35).
Если значение xi в данной совокупности наблюдается 1 раз, то значение статистической функции распределения (ча-
стота) равна pi* 1
n , если – m раз, то – pi* m
n . Скачки на
графике статистической функции распределения будут соответствовать этим частотам.
Статистическая функция распределения рассчитывается по зависимостям:
F * (x ) P* ( X x ) 0; |
|
|||||
1 |
1 |
|
|
|||
F * (x |
2 |
) P* ( X x |
2 |
) p* ; |
|
|
|
|
1 |
(6.89) |
|||
.................................................. |
||||||
|
||||||
n 1
F * (xn ) P* ( X xn ) pi* 1.
i 1
Если Х - непрерывная случайная величина, то при увеличении числа опытов n число скачков функции F * (xi ) увеличивается, а величина самих скачков уменьшается, т.е. при n частота pi* стремится к вероятности р, статистическая функция распределения F * (xi ) - к функции распределения F (x) .
178
Имея статистическую функцию распределения, можно решить две задачи:
по заданной частоте (вероятности) определить возможный диапазон случайной величины;
по заданному значению случайной величины определить ее возможную частоту (вероятность).
При большом числе опытов (n > 100) использование простой статистической совокупности и соответствующей ей статистической функции распределения становится исключительно трудоемким. С целью снижения трудоемкости простая статистическая совокупность или простой статистический ряд преобразуется в статистический ряд. Для чего весь диапазон
значений СВ разбивается на k интервалов или разрядов Ij (j = 1, 2, …, k), затем подсчитывается сколько раз случайная величина попадает в каждый интервал.
Частота, соответствующая j-му разряду, определяется
p*j |
|
m j |
, |
(6.90) |
|
||||
|
|
n |
|
|
где mj – число значений СВ, приходящихся на j-ый разряд. Отношение
f * (x j ) |
p*j |
(6.91) |
|
x j 1 x j |
|||
|
|
характеризует плотность распределения СВ по разрядам. Разряды Ij и соответствующие им частоты p*j представ-
ляют в виде таблицы, которая называется статистическим рядом (таблица 6.11).
Таблица 6.11 - Статистический ряд
j |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
… |
j |
… |
k |
|
Ij |
|
x1-x2 |
x2-x3 |
|
|
x3-x4 |
|
… |
xj-xj+1 |
… |
xk-1-xk |
|
mj |
|
m1 |
m2 |
|
|
m3 |
|
… |
mj |
… |
mk |
|
p* |
|
p* |
p* |
|
|
p* |
|
… |
p* |
… |
p* |
|
j |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
j |
|
k |
|
f * (x j ) |
|
f * (x ) |
f * (x |
) |
|
f * (x |
) |
… |
f * (x j ) |
… |
f * (x |
) |
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
k |
|
|
Отметим, что должно выполняться условие |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk* 1. |
|
|
|
(6.92) |
|
||
j 1
179
При группировке значений СВ возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значение, находящееся в точности на границе двух разрядов. Можно рекомендовать правило: считать данное значение принадлежащим в равной мере обоим разрядам, например, j-му и (j+1) - му разрядам, и прибав-
лять к числам mj и mj+1 по 1 / 2.
Число разрядов не должно быть слишком большим, так как статистический ряд становится информативно невырази-
тельным, а частоты p*j могут обнаруживать существенные
пульсации. При малом числе разрядов свойства распределения описываются не только грубо, но и могут быть существенно изменены. Опыт показывает, что в большинстве случаев достаточно выбрать 10 – 20 разрядов [3.19].
Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными. Если СВ распределена крайне неравномерно, то целесообразно в области наибольшей плотности использовать узкие разряды.
Используя статистический ряд, по формулам
F * (x ) 0; |
|
||
1 |
|
|
|
F * (x |
2 |
) p* |
; |
|
1 |
|
|
.............................. |
|||
|
|
j |
(6.93) |
F * (x j ) p*j ; |
|||
|
|
j 1 |
|
............................... |
|||
|
|
k |
|
F * (xk ) pk* , |
|||
|
|
j 1 |
|
возможно построить статистическую функцию распределения
(рисунок 6.36).
F*(xi)
1
р2* р1* 
x1 x2 0 xk+1 x
Рисунок 6.36 - График статистической функции распределения
Наглядное представление о распределении СВ дает гисто-
грамма статистического ряда. Прави-
ла построения гистограммы: 1) по оси абсцисс откладывают разряды; 2) на каждом из разрядов
180
строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Так как ширина прямоугольника равна длине разряда, то высота – частному от деления частоты разряда на
его длину, т.е. f * (x j ) . Если длины всех разрядов одинаковы,
то высоты прямоугольников гистограммы пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь гистограммы равна единице, т.е.
k
f * (x j ) 1.
j 1
Виды трех наиболее характерных гистограмм статистического распределения представлены на рисунке 6.37, а, б, в.