Линеаризация относительно опорного динамического режима

Пусть задан некоторый динамический режим работы системы (опорный режим), т.е. заданы вектор-функции , на отрезке времени. Если рассогласованияневелики, то линеаризованные уравнения становятся уравнениями того же типа, что и уравнения (2.6), но матрицы коэффициентов в них,,, являются функциями времени.

(2.7)

Контрольные вопросы

1. К какому результату приводит линеаризация статической нелинейности?

2. Как описывается динамическая нелинейность?

3. Как различаются результаты линеаризации относительно положения равновесия и относительно опорного динамического режима?

2.3. Математические методы описания (характеристики) систем автоматического управления

2.3.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка

Рассматривается линейная или линеаризованная одноконтурная стационарная система n-го порядка с одним задающим входным воздействием. Векторное уравнение (2.6) (в скалярной форме – системаnуравнений первого порядка) после соответствующих преобразований всегда можно свести кодному дифференциальному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами, а уравнение (2.7) – к аналогичному уравнению с переменными коэффициентами. В данной дисциплине будут рассматриватьсятолько уравнения с постоянными коэффициентами.

Итак, – входное задающее воздействие,–выходная величина. Линейная система автоматического управленияn-го порядка описывается дифференциальным уравнением

(2.8)

где n иm– наивысшие порядки производных функцийи;– постоянные коэффициенты. Для систем с полной информацией все эти параметрыдолжны быть заданы.

При заданном входном воздействии и заданных начальных условиях

(2.9)

интегрирование уравнения (2.8) однозначно определяет закон изменения выходной величины для всех моментов времени(динамический режим работы системы).

2.3.2. Передаточные функции

Передаточной функцией W(s) комплексной переменной s называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входного воздействияпри нулевых начальных условиях.Нулевые начальные условия для линейных непрерывных системвсегда предполагаются. (Этот вопрос будет рассмотрен ниже при описании временных характеристик). Таким образом,

(2.10)

где – оператор прямого преобразования Лапласа,– оператор обратного преобразования Лапласа.

Для того чтобы получить передаточную функцию системы, заданной уравнением (2.8), необходимо к обеим частям этого уравнения применить преобразование Лапласа. Тогда передаточная функция W(s) представляется в виде отношения двух полиномов комплексной переменнойs.

(2.11)

здесь и– обозначение полиномов.

Приравниванием нулю полином в знаменателе, называемый характеристическим; формируется характеристическое уравнение

. (2.12)

Решением этого алгебраического уравнения являются значения nкорней(полюса передаточной функции). Аналогично, приравнивая нулю полином в числителе, получаем в качестве решения нули передаточной функцииТогда, используя теорему Виета, передаточную функцию можно представить в виде

В зависимости от того, являются ли полюса и нуливещественными или комплексно-сопряженными, после некоторых преобразований передаточная функция представляется в виде произведения передаточных функций определенного набора звеньев, называемых типовыми. Например,

(2.13)

Типовые звенья будут подробно рассмотрены в следующем разделе 2.4.

Пример 2.1

Задано дифференциальное уравнение, описывающее систему автоматического управления. Требуется найти передаточную функцию этой системы.

.

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям заданного уравнения, получим уравнение, связывающее изображения выходной Y(s) с изображением входнойX(s) величин:

.

Учитывая наличие общего множителя Y(s) в левой части иX(s) в правой части полученного уравнения, после некоторых преобразований получим искомую передаточную функцию

.

В тех случаях, когда задана передаточная функция, чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее систему, необходимо произвести рассмотренные действия в обратном порядке.