Свойства z-преобразования

1. Теорема линейности:

• Z-преобразование суммы равно суммеZ-преобразований;

• постоянный коэффициент выносится за знак Z-преобразования

. (3.18)

2. Теоремы сдвига:

1. запаздываниенаm тактов.

Пусть . Требуется найти изображение.

.

После замены переменной имеем

.

Учитывая, что x[sT₀] = 0 приs< 0, и вынося за знак суммы множитель, получим, или окончательно

;(3.19)

2. опережениенаm тактов.

Пусть . Требуется найти изображение.

.

После замены переменной получим

.

Таким образом, в рассматриваемом случае

. (3.20)

Следовательно, для нахождения Z-изображения решетчатой функциипри опережении наmтактовтребуется знать m - 1 начальных значенийфункции. Например:

,

,

. (3.21)

3. Начальные и конечные значения идеальной решетчатой функции

Учитывая соотношения и свойства преобразования Лапласа, имеем

.

. (3.22)

3.1.3. Конечные разности

Конечные разности – это аналоги производныхнепрерывных функций, используемые при описании математических моделей систем с прерывистым режимом работы.

1. Прямые конечные разности

При вычислении прямых конечных разностейдля момента временинеобходимо использовать значениядлябудущих моментов времени(опережение на один такта)

Прямая конечная разность первого порядкаимеет вид

или, используя сокращенную форму записи,

. (3.23)

Таким образом, при её записи используются значения переменной y(t) для моментов времениt_iиt_i+1.

Прямая конечная разность второго порядка

зависит уже от значений переменной для моментов времениt_iи моментовt_i+1,t_i+2, следующих с опережением на один или два такта соответственно.Наибольшее опережение определяет порядок разности.Для прямой конечной разностиk-го порядка справедливо выражение

, (3.24)

где – число сочетаний.

Следует отметить, что для определения Z-изображения прямой конечной разности первого порядка необходимо в формуле (3.23) учестьZ-изображение функцииy_i+1, смещенной на один такт. Согласно формуле (3.21) приm = 1 имеем

.

Аналогичные преобразования проводятся для определения Z-изображения прямой конечной разности второго порядка

.

Наконец, Z-изображение прямой конечной разностиk-го порядка

(3.25)

содержит значения переменной в первых (k- 1) точках оси времени (). Это обстоятельствосущественно усложняетматематическое описание системы. Поэтому наибольшее распространение получило описание системы с использованием обратных конечных разностей.

2. Обратные конечные разности

Обратная конечная разность первого порядка, определяемая для момента времени, равна

.

Обратная конечная разность второго порядка

.

Для обратной конечной разности k-го порядка имеем

(3.26)

Выражение (3.26) показывает, что порядок конечной разностиопределяется величинойнаибольшего смещениядискретной функции.

Z-изображения обратных разностей вычисляются с использованием формулы (3.19)

.

Аналогично для разности второго порядка:

.

И наконец, Z-изображение обратной конечной разностиk-го порядка имеет вид

. (3.27)

Контрольные вопросы

1. Перечислите свойства дельта-функции.

2. Чем является идеальная решетчатая функция?

3. Перечислите свойства Z-преобразования.

4. Как различаются пряьые и обратные конечные разности?