Контрольные вопросы

1. В чем заключается универсальный метод структурных преобразований?

2. Как определяется комплексный коэффициент передачи последовательного соединения?

3. Какие обозначения и терминология применяются при описании системы с единичной обратной связью?

4. Какими передаточными функциями описывается система с двумя входными воздействиями?

2.6. Устойчивость линейных непрерывных систем

2.6.1. Определение устойчивости

Устойчивость – это важнейшеесвойствосистемы автоматического управления. Если система не является устойчивой, то онанеработоспособная.

Пусть система находится в состоянии равновесия и, начиная с некоторого момента времени на нее начинают действовать ограниченные воздействия – возмущения. Если система под действием этих возмущений имеет способность мало отклоняться от состояния равновесия, то она устойчива.В противном случае достаточно действия небольшого возмущения, чтобы она далеко отклонилась от состояния равновесия.

Возмущения могут быть непрерывными или импульсными, действующими на систему в какие-то моменты времени; регулярными или случайными. Доказывается, что если система устойчива при действии на неёначального мгновенного возмущения, то она будет устойчивой и при действии других видовограниченных возмущений. Математически начальное мгновенное возмущение описывается дельта-функцией(t). Таким образом,судить об устойчивостисистемы можно повиду ее импульсной переходной характеристики.

Как отмечалось в разделе 2.1 (см. формулу (2.19)), действие идеального импульса на линейную систему часто приводит к мгновенному изменению начальных условий (выводу её из состояния равновесия). Если в дальнейшем, будучи предоставлена самой себе, система сможет вернуться в состояние равновесия, то она устойчива.

Итак, если функцияg(t) и её производные до (n - 1)-го порядка ограничены на интервале времени функционирования системы, то система устойчива. А если, кроме того,пределыпо времени этих функций равны нулю, тосистема устойчива асимптотически.

2.6.2. Анализ устойчивости системы по расположению корней характеристического уравнения

В разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения импульсно-переходной характеристики системы (и её производных) зависит исключительно от вида корней характеристического уравнения системы (2.12). Расположение корней на комплексной плоскости обеспечивает наглядное представление о влиянии их на вид функции g = g(t).

В дальнейшем рассматривается влияние только некратных корней. Это возможно, если обеспечены условия, при которых система устойчива с некоторым запасом.

Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.

1. Все корни s_i < 0,i= 1, 2, … ,n,вещественные и отрицательные (рис. 2.21), следовательно, все суммируемые экспоненты импульсной переходной характеристикиg=g(t) в формуле (2.21) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулюСистема являетсяустойчивой асимптотически.

2. Один корень (s₁ > 0) –вещественный и положительный, остальные корниs_i < 0 ,i= 2, 3, … ,n– вещественные и отрицательные. Эта единственная экспонента с положительным показателем с течением времени возрастает и потому суммарная функцияg=g(t) есть возрастающая функция времени (см. рис. 2.22).Система неустойчивая.

3. Пара комплексно-сопряженных корней имеет отрицательную вещественную часть ,> 0. Остальные корни s_i < 0 ,i= 3, 4, …,n вещественные и отрицательные (рис. 2.23).

При изучении импульсной переходной характеристики колебательного звена было показано, что комплексно-сопряженным корням с отрицательной вещественной частью (см. формулу (2.39)) соответствует затухающийколебательный процесс (см. рис. 2.11). С учетом сказанного в пункте 1 модуль суммарной функции g = g(t) с увеличением времени уменьшается и в пределе равен нулю.Система асимптотически устойчивая.

4. Пара комплексно-сопряженных корней ,> 0 имеет положительную вещественную часть.Остальные корниs_i < 0,i= 3, 4, … ,nвещественные и отрицательные. Этой паре комплексно-сопряженных корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно,g=g(t) – возрастающая функция времени (рис. 2.24).Система неустойчивая.

Таким образом, справедливы следующие положения:

• Система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеютотрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости.Мнимая оськомплексной плоскостиявляется границей устойчивости.

• Система неустойчива, еслихотя бы один из корнейхарактеристического уравненияимеет положительную вещественную часть.

• Система находится на апериодической границе устойчивости, если устойчивы все корни её характеристического уравнения, а один вещественный корень равен нулю.

• Система находится на колебательной границе устойчивости, если устойчивы все корни её характеристического уравнения, а пара комплексно-сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть.