5. Методы определения временных характеристик Классический методоснован на непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих систему.

Импульсная переходная характеристикаопределяется интегрированием уравнения (2.8) после подстановки в него входного воздействияи его производных. Линейные системы всегда имеют нулевые начальные условия, т.е. привходное воздействиеотсутствует и выходная величинаи ее (n- 1) её производная равны нулю. Наличие на входе дельта-функциии ее производных приводит прик скачкообразному изменению начальных условий. Далее приt> 0 снова устанавливаются равными нулю дельта-функцияи ее производные. Прине все составляющие вектора начальных условиймогут быть равны нулю. Величина скачка векторазависит только от параметров системы: в первую очередь от соотношения между величинами порядков полиномовn и m, во вторую – от коэффициентовиуравнения (2.8). Формулы для вычисления составляющих вектораможно найти в литературе (например, в [3]).

(2.19)

Таким образом, импульсная переходная характеристика определяется интегрированием при t> 0 линейного однородного дифференциального уравненияn-го порядка

(2.20)

с начальными условиями (2.19).

Общее решение уравнения (2.20) имеет вид

(2.21)

где c_i – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.19);s_i – корни характеристического уравнения (2.12).

Характер изменения функции от времени зависит исключительно от характера корнейs_i. Подробный анализ решения уравнения (2.20) будет проведен позже при изучении устойчивости САУ.

Дифференциальное уравнение для переходной характеристикиполучается подстановкой единичной функциии ее производных в правую часть уравнения (2.18) и интегрированием его при. И в этом случае приможет происходить скачок начальных условий, т.е.

(2.22)

Формулы для вычисления можно найти в литературе, например в [3].

Итак, для положительных моментов времени для переходной характеристики справедливо линейное неоднородное (с постоянной правой частью) дифференциальное уравнение n-го порядка

(2.23)

Общее решение

(2.24)

где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.22);– корни характеристического уравнения (2.12);– частное решение уравнения (2.23), определяемое видом его правой части.

Методы, основанные на использовании преобразования Лапласа

В общем случае согласно определению передаточной функции (см. формулу (2.10)) справедливо соотношение что позволяет определить формулы для вычисления изображений временных характеристик.

(2.25)

(2.26)

Если задана передаточная функция , то функциииопределяются в результате использования обратного преобразования Лапласа. Самым универсальным при этом является метод, основный наприменении теоремы о вычетах.

Пусть известны корни характеристического уравнения (2.12). Тогда аналогично формуле (2.13) справедливо соотношение

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим выражение, совпадающее с (2.21):

. (2.27)

При разложении изображения переходной характеристики появляется дополнительный нулевой кореньхарактеристического уравнения. Таким образом,

(2.28)