Контрольные вопросы

1. Почему для описания дискретных систем предпочитают применять уравнения в обратных конечных разностях?

2. Сформулируйте определение дискретной передаточной функции.

3. Перечислите методы восстановления оригиналов.

3. Анализ систем с прерывистым режимом работы

3.3.1. Устойчивость систем с прерывистым режимом работы

Система считается устойчивой, если с течением времениуменьшаются выборочные значения дискретной функции. Для этого необходимо, чтобы модуль множителяz_j в выражении (3.35) был меньше единицы (величина меньше единицы при возведении в положительную степень уменьшается и тем сильнее, чем больше показатель степени). Таким образом, формулируются следующие правила:

1. Система устойчива, есливсе корнихарактеристического уравненияz_j по модулю меньше единицы

. (3.36)

Следовательно, на комплексной Z-плоскостивсе корнидолжны располагатьсявнутри окружности единичного радиуса(рис. 3.2).

2. Система неустойчива, еслипо модулюбольше единицы хотя бы один кореньхарактеристического уравнения.

3. Система находится на границе устойчивости, если при всех устойчивых корнях равны единице или модуль одного вещественного корня или модуль пары комплексно-сопряженных корней.

3.3.2.Билинейное илиW-преобразование

Билинейное преобразование позволяет в ряде случаев применить для анализа системы с прерывистым режимом работы методы, разработанные ранее для исследования аналоговых систем. В частности, билинейное преобразование позволяет отобразить окружность единичного радиуса Z-плоскости на мнимую ось комплексной плоскости переменнойw (W-плоскости, рис. 3.3) и использовать критерий Найквиста и все связанные с ним методы анализа систем. Используются подстановки в прямом и обратном билинейных преобразованиях, соответственно

. (3.37)

Действительно, пусть комплексные переменные zиw представляются в виде.

Подставляя переменную z в выражение дляw(см. подстановки (3.37)), после некоторых преобразований получим формулы для вещественных характеристик переменнойw

, (3.38)

позволяющие сформулировать условия устойчивости системы, используя для её описания переменную w.

1. Как было отмечено выше, система находится на границе устойчивости, еслиравны единице модулиодного вещественного корня или пары комплексно-сопряженных корней при устойчивых всех остальных корнях. Но тогда равен нулю числитель в формуле для α в выражении (3.38), т.е.равна нулю вещественная частькомплексной переменнойw (α = 0) и данный корень находится на границе устойчивости. Это может служить доказательством, что на комплекснойW-плоскостидля корней характеристического уравнения системы с прерывистым режимом работы границейустойчивости является мнимая ось.

2. Система устойчива, есливсе корниw_jхарактеристического уравненияимеют отрицательные вещественные части(все корни находятся в левой полуплоскости наW-плоскости на рис. 3.3).

.

3. Система неустойчива, еслихотя бы один из корней имеет положительнуювещественную часть(корень находится в правой полуплоскости наW-плоскости).

Доказывается, что для анализа устойчивости систем, описываемых W-передаточными функциями,может использоваться критерииустойчивости Найквиста.

Итак, пусть система, заданная передаточной функцией W(w) в разомкнутом состоянии, устойчива. Для того чтобы в соответствии с критерием Найквиста эта система в замкнутом состоянии была устойчивой, еёамплитудно-фазовая характеристика(АФХ) в разомкнутом состояниине должна охватывать точку (-1; 0)на комплекснойW-плоскости.