Устойчивые в разомкнутом состоянии системы

В том частном случае, когда система в разомкнутом состоянии устойчива,т.е. число её неустойчивых корней равно нулю (l_C = 0), то в соответствии с соотношением (2.63) изменение фазы вектораF(jω) равно нулюи справедливо правило:

если АФХ системы в разомкнутом состоянии при изменении частоты ω в диапазоне не охватывает точку ( - 1,0), то система в замкнутом состоянии устойчива.

Пример 2.6

Задана передаточная функциия системы в разомкнутом состоянии

.

Требуется определить, устойчива ли эта система (в замкнутом состоянии).

Комплексный коэффициент передачи рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии имеет вид

.

Таблица 2.5
ω
0	∞	–∞
		–0
∞	–0	–0

Для ряда значений частоты ω определены значения вещественной и мнимой частей этого комплексного коэффициента передачи (табл. 2.5). На рис. 2.28 изображена АФХ, построенная в соответствии с данными табл. 2.5.

Заданная передаточная функция содержит три интегрирующих звена. Поэтому видимая часть АФХ дополняется дугойбесконечно большого радиуса, поворачивающей её низкочастотную часть по часовой стрелке на угол, равный - 270°.

Изображенная на рис. 2.28 характеристика не охватывает точку ( - 1, 0), следовательно, рассматриваемая система устойчива.

Контрольные вопросы

1. Дать определение устойчивости системы.

2. Как понятие устойчивости связано с понятием работоспособности системы?

3. Как провести анализ устойчивости системы по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости?

4. Как провести анализ устойчивости системы, используя критерий Михайлова?

5. Сформулировать условия устойчивости по критерию Найквиста в общем случае.

6. Как формулируются условия устойчивости по критерию Найквиста для устойчивых в разомкнутом состоянии систем?

2.7. Показатели качества линейных непрерывных систем

Для сравнения качества функционирования разных систем или разных вариантов одной системы разработаны числовые показатели, характеризующие качество системы с той или иной точки зрения.В настоящей работе изучаются толькосамые универсальныеиз них (имеет смысл изучать показатели качества только для работоспособных, т. е. устойчивых систем).

1. Показатели, характеризующие динамику переходного процесса. К ним в первую очередь относят показатели запасов устойчивости и быстродействия систем.

2. Показатели, характеризующие точность системы. Чаще всего к ним относят характеристики регулярных и случайных составляющих ошибок системы в установившемся режиме её работы.

2.7.1. Показатели динамики процесса, определяемые по виду переходной характеристики

Как уже отмечалось, переходная характеристика – это реакция системы на единичный скачок (см. формулу (2.17)). Она характеризуеткачество динамики переходного процесса и представлена на рис. 2.29.

Показателями качества, определяемыми по виду переходной характеристики, являются:

1. время переходного процессаt_п(время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующийбыстродействиесистемы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t, отстоящие от установившегося значенияh_устна величину 0,05h_уств ту и другую сторону (трубка 5 %).t_п– это момент времени, когда переходная характеристикавходит в трубку 5%и больше из нее не выходит

(2.61)

2. время переходного процессаt_п(время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующийбыстродействиесистемы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t, отстоящие от установившегося значенияh_устна величину 0,05h_уств ту и другую сторону (трубка 5 %).t_п– это момент времени, когда переходная характеристикавходит в трубку 5%и больше из нее не выходит

(2.61)

2) t_m– момент времени достижения переходной характеристикой первого максимума. Для сильно колебательных систем значениеt_m приближенно равно половине периода колебаний переходной характеристики (), поскольку такая система по своим свойствам приближается к колебательному звену (см. раздел 2.4.6);

3) перерегулирование σ;

. (2.62)

Переходный процесс системы может иметь апериодический или колебательный характер. Для систем радиоавтоматики он чаще всего имеет колебательный характер. По переходной характеристике степень колебательности определяется по величине перерегулирования σ (см. формулу (2.62)). Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости когда в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100 %.

Для инерционных систем уровень колебательности ограничивают (в том числе и величину перерегулирования σ). Для электронных систем радиоавтоматики колебательность допускается, но ее приходится ограничивать, так как она является косвенной характеристикой запаса устойчивостисистемы. Запас устойчивости считается достаточным, если. Иногда допускается перерегулирование до 70%, а в ряде случаев не допускается вообще (для инерционных систем);

4) Число колебаний r за время переходного процесса. Этот показатель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не более, для слабо колебательных систем – меньше одного колебания. Зная период колебаний переходной характеристики, по величинеr нетрудно (хотя и приближенно) определить время переходного процесса, поскольку,.

Таким образом, по виду переходной характеристики можно определить следующие показатели качества системы:

• время переходного процесса t_п;

• t_m– момент времени достижения первого максимума;

• перерегулирование ;

• число колебаний rза время переходного процесса;

• период колебаний T_колпереходной характеристики.