3.1.1.Дельта-функция и её свойства

Для описания дискретных функций широко используется класс импульсных функций, основанный на использовании дельта-функции и её производных. С точки зрения определений, вводимых в математическом анализе, дельта-функции собственно функциями не являются. Это особый класс обобщенных функций и для них разработаны специальные операции. Но для практических приложений в теории автоматического управления важны только интегральные свойства этих функций и в этой области к нимформальноприменимы обычные операции.

Дельта-функция – это функция, равная нулю для всех моментов времени, кроме момента, обращающего в нуль выражение в её круглых скобках (в рассматриваемом случае – приt= 0).Основное свойствоеё заключаетсяв равенстве единице площади, заключенной между этой функцией и осью времени 0t. Следовательно, равен единице интеграл от неё, распространенный на сколь угодно малый отрезок времени существования функции

(3.1)

Для того чтобы выполнить условие (3.1) на бесконечно малом интервале времени, амплитуда дельта-функции при t= 0 должна быть бесконечно большой. Несмотря на это противоречиедельтафункция служит хорошей математическоймоделью идеального бесконечно короткого импульсас единичной амплитудой.

К другим свойствам дельта-функции относятся:

• часто встречающееся требование, чтобы эта функция была четной

(3.2)

• для любой функции φ(t) и любого числаt₀,a <t₀<b,

(3.3)

Это условие может рассматриваться как реализация фильтрующего свойства дельта-функции;

• для любой дифференцируемой nраз функции φ(t) справедливо соотношение

(3.4)

• единичная функция 1(t) есть интеграл от дельта-функции

(3.5)

Следовательно, дельта-функция есть производная от единичной функции (единичного скачка)

. (3.6)

3.1.2. Дискретное преобразование Лапласа

Дискретным называется преобразование Лапласа от дискретной функции , заданной рядом её выборочных значенийили, если дискретная функция образуется на основе непрерывной функцииx(t), в видеидеальной решетчатой функции

. (3.7)

Таким образом, идеальная решетчатая функция – это последовательность дельта-функций, моделируемых выборочными значениями

Используются следующие обозначения:

,

,, (3.8)

где– оператор преобразования Лапласа;

– оператор дискретного преобразования Лапласа;

– операторZ-преобразования;

– изображения дискретной функции.

Преобразование Лапласа часто используемых дискретных функций

1. Изображение дельта-функции

.

Применив теорему о среднем (или учитывая свойство (3.3)) и соотношение (3.1), получим

. (3.9)

2. Изображение дельта-функции ,смещенной наi тактов, т.е. существующей для момента времени:

.

После замены переменной с учетом соотношений (3.3) и (3.9) имеем

(3.10)

или, используя введенное ранее обозначение , получимZ-изображение дельта-функции, смещенной наi тактов:

,. (3.11)

3. Изображение идеальной решетчатой функции:

.

Таким образом, с учетом обозначений (3.8) и (3.11) имеем

, (3.12)

. (3.13)

4. Изображение дискретного единичного скачка :

Дискретный единичный скачок – это частный случай для идеальной решетчатой функции, когда все выборочные значения равны единице (рис. 3.1). Следовательно, в соответствии с выражением (3.13) его изображение представляется в виде ряда

При выполнении условия этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Начальный член еёb₀= 1, знаменательq = z^-1. Искомое изображение есть суммачленов этой прогрессии

. (3.14)

5. Изображение дискретной показательной функции:

. (3.15)

Согласно выражению (3.12) изображение функции имеет вид. Изображениесуществует, если полученный ряд сходится. После введения обозначенияи перехода кZ-изображению вычисляется сумма ряда (b₀= 1,q = d z^–1)

. (3.16)

6. Изображение дискретной показательной функции с комплексным показателем

Пусть показатель – aв выражении (3.15) является комплексным.

Тогда функция x(t) и коэффициентdв выражении (3.16) представляются в виде

.

Подставляя полученное выражение для коэффициента dв формулу (3.16) после некоторых преобразований получим

.

Следовательно,

,

. (3.17)

В приложении представлена таблица преобразований Лапласа и Z-преобразований наиболее часто встречающихся функций.