3.3.5. Пример анализа дискретной системы

На рис. 3.4 представлена структурная схема дискретной системы,

описание математической модели такой системы рассмотрено в разделе 1 (см. рис. 1.3). Передаточная функция непрерывной частьи её – реальное интегрирующее звено. Заданы все параметры системы:

k =5000 1/c,T₀ = 0,004 с,T= 0,01 с,γ= 0,1,τ_и=γ T₀ = 0,0004 с.

Требуется провести анализ качества системы.

Анализ устойчивости системы по расположению корней характеристического уравнения на z-плоскости

• Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии приводится к виду, удобному для использования таблицыZ-преобразования

.

• Производится Z-преобразование передаточной функцииW(s) с использованием таблицыZ-преобразования:

,

где .

• Записывается Z-передаточная функция системы в замкнутом состоянии

.

• Приравняв нулю знаменатель передаточной функции в замкнутом состоянии и решая характеристическое уравнение, получим его корни:

,.

Анализ этих корней позволяет сделать следующие выводы:

1. Корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы,т.е. на комплексной плоскости они находятся внутри окружности единичного радиуса (рис. 3.5). Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

2. Поскольку корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то переходный процесс системы имеет колебательный характер.

Временные характеристики

1. Импульсную переходную характеристикурассматриваемой системы удобно получить, применив обратноеZ-преобразование к передаточной функцииW_з(z). Учитывая комплексный характер корней и отсутствие множителяz² в числителе передаточной функции системы в замкнутом состоянии, в соответствии с таблицейZ-преобразований имеем

Параметры k₁,d₁,αи β определяются в результате приравнивания множителей при одинаковых степенях записанных изображений сначала в знаменателе, а потом в числителе:

• ,

• 

• 

Таким образом, выражение для дискретной импульсной переходной характеристики имеет вид

На рис. 3.6 представлена дискретная импульсная переходная характеристика.

1. Переходная характеристикав рассматриваемом случае определяется решением уравнений в конечных разностях (3.28). Чтобы получить эти уравнения, передаточная функцияпредставляется в виде функции переменнойz^-1. Для этого нужно числитель и знаменатель её разделить наz²:

Записав уравнение в изображениях

и применив к обеим частям его обратное Z-преобразование, получим искомое уравнение в обратных конечных разностях

. (3.52)

Это уравнение при заданном входном воздействии может рассматриваться как рекуррентное соотношение для определения выходной величины y_i,i= 0, 1, … . В случае, когда на вход подается дискретный единичный скачок(см. рис. 3.1), выходной величиной являетсядискретная переходная характеристика (рис. 3.7).

И так далее.

Анализ устойчивости по расположению корней

Характеристического уравнения на w-плоскости

После подстановки в передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии переменнуюzв форме и некоторых

преобразований получим W-передаточную функцию в разомкнутом состоянии

.

Тогда W(w) передаточная функция системы в замкнутом состоянии будет иметь вид

Приравняв нулю её знаменатель и решая полученное характеристическое уравнение, можно определить корни характеристического уравнения системы

По расположению этих корней на W-плоскости (рис. 3.8) формируются следующие заключения:

1. Система устойчива, так как корни расположены в левой устойчивой полуплоскости.

2. Переходный процесс системы имеет колебательный характер, поскольку корни комплексно-сопряженные.