2.4.6.Колебательное звено

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

, 0 < ξ < 1, (2.38)

где k– безразмерный коэффициент усиления,равный единице(k= 1) дляидеальногоколебательного звена;T– постоянная времени звена, [T] = с; ξ – коэффициент демпфирования.

Колебательное звено может служить модельюнекоторойсистемыавтоматического управлениявторого порядка.Особый интерес представляют временные характеристики колебательного звена, позволяющие оценить характер динамики переходного процесса такой системы. Многие свойства динамики переходного процесса колебательного звена переносятся на системы более высокого (третьего, четвертого) порядка.

Характеристическое уравнение колебательного звена и его корни

Характеристическое уравнение формируется приравниванием нулю знаменателя передаточной функции (2.38) .

Корни этого уравнения имеют вид

,. (2.39)

Итак, комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения колебательного звена имеют отрицательную вещественную часть, следовательно, как будет показано ниже в разделе 2.6, система, описываемая колебательным звеном, являетсяустойчивой. Наличие мнимой составляющей является признаком того, что пререходный процесс звена имеет колебательный характер.

Импульсная переходная характеристика

Согласно выражению (2.25) импульсная переходная характеристика определяется в результате применения обратного преобразования Лапласа к передаточной функции звена

.

Для того чтобы воспользоваться таблицами преобразования Лапласа (см. приложение), передаточную функцию (2.38) необходимо преобразовать так, чтобы её вид совпадал с аналогичными данными таблицы преобразования.

, то

Следовательно,

. (2.40)

Переходная характеристика (k = 1)

Вывод формулы для переходной характеристики будет продемонстрирован с помощью классического метода. В соответствии с передаточной функцией (2.38) дифференциальное уравнение для переходной характеристики при (k= 1) имеет вид

,t > +0. (2.41)

Общее решение неоднородного уравнения (2.41) представляется суммой общего решения однородного уравнения (с учетом комплексно-сопряженных корней (2.39)) и частного решения, определяемого выражением в правой части уравнения (2.41). Общее решение характеризует переходный процесс h_пер(t), частное решение – процесс в установившемся режиме работы системыh_уст(t).

+h_уст(t). (2.42)

Для определения h_уст(t) и постоянных интегрированияA и ψ можно воспользоваться теоремами о начальном и конечном значениях преобразования Лапласа с учетом формулы (2.26).

, (2.43)

Интегрируя уравнение (2.42), используя полученные в (2.43) значения начальных условий, определяют формулы для вычисления постоянных интегрирования

,

На рис. 2.11 приведены графические изображения временных характеристик колебательного звена.

Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы (обоснование их будет приведено ниже при изучении показателей качества САУ).

1. Колебательность звена в первую очередь зависит от коэффициента демпфирования ξ. Чем он меньше, тем в большей степени звено обладает колебательными свойствами.

2. Звено устойчиво, поскольку вещественная часть корней характеристического уравнения (2.39) отрицательна, и функция в пределе равна нулю.

3. Величина α вещественной части комплексно-сопряженных корней (2.39) определяет быстродействие системы (время переходного процесса).

4. Мнимая часть β комплексно-сопряженных корней (2.39) является частотой колебаний временных характеристик (см., например, (2.42)). Период колебаний равен .

5. Момент времени первого максимума переходной характеристики равен половине периода колебаний t₁=T_кол/2.

На рис. 2.12 представлено семейство переходных характеристик для демонстрации влияния коэффициента демпфирования ξ на вид переходных характеристик колебательного звена.