Метод коэффициентов ошибок

Для расчета характеристик точности системы часто используют метод коэффициентов ошибок (достаточно простой, приближенный метод), применимый при выполнении условий:

• задающее воздействие является медленно меняющейся функцией временипо сравнению со временем переходного процесса системы;

• ошибки рассчитываются в установившемся режимеработы системы, т. е. для моментов времени, намного превышающих время переходного процесса,t>>t_n.

Эти допущения позволяют ограничиться тремя слагаемыми при разложении передаточной функции W_x(s) по степенямs относительно точки приs= 0.

, (2.81)

где ₀,₁,₂–коэффициенты ошибокпо постоянной составляющей задающего воздействияx(t), по его скорости и ускорению соответственно.

Итак, с учетом разложения (2.81) и выражения (2.74) при отсутствии помехи (F(s) = 0) имеем

,,

и, применяя обратное преобразование Лапласа к обеим частям полученного уравнения, получим

,. (2.82)

Коэффициенты ошибок ₀,₁,₂являются решением уравнений, получаемых в результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степеняхsлевой и правой частей соотношения. Или в развернутом виде имеем

. (2.83)

В результате формируются три уравнения для определения этих коэффициентов ₀,₁,_2.

1. .

2. . (2.84)

3. _.

Итак, для повышения точностисистемы следует:

• повышатьеепорядок астатизма.

• повышать коэффициент усиления kсистемы в разомкнутом состоянии.

Следует иметь в виду, что перечисленные методы повышения точности сопряжены с ухудшением свойств динамики переходного процесса.

Ошибки при гармоническом входном воздействии

Гармоническое входное воздействие имеет вид ,

где x_m – амплитуда входного воздействия; ω_x – его частота.

Изучаемая система является линейной, и потому рассматриваемая ошибка в свою очередь представляется гармонической функцией с амплитудой ε_m, фазой φ_εи частотой ω_x(равна частоте входного воздействия). Точность системы удобно определять отношением амплитуд ε_m /x_m.

Изображение ошибки системы по задающему входному воздействию x(t) в соответствии с выражением (2.74) имеет вид

Следовательно, отношение амплитуд ε_m / x_mравно модулю комплексного коэффициента, полученного из передаточной функции ошибки.

, (2.84)

где – амплитуда комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии на частоте ω_x.

2.7.4. Ошибки, вызванные действием случайной помехи f(t)

Случайная составляющая _сл(t) = ε_f(t) ошибки системы в данном случаевызывается действием суммарной помехиf(t). Рассматриваемая система является линейной и стационарной. Помехаf(t) – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностьюS_f(). В этих условиях случайная составляющая ошибки_сл(t) также представляет собой стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью

S_() = S_f()K_f(j)², K_f(j) = W_f(s)_s=j. (2.85)

Для ее дисперсии имеем

Учитывая, что в рассматриваемой работе помеха описывается какбелый шум(имеет постоянную спектральную плотность мощностиS_f()S_f(0) = const), выражение для дисперсии преобразуется к виду

. (2.87)

Формулы для вычисления интегралов вида

J_n=(2.88)

приведены в [ 1] (n– порядок системы).

Следует обратить внимание на имеющееся совмещение обозначений: C(s) – знаменатель передаточной функцииW(s) (см. формулы (2.49) и (2.76)), аС(j) – числитель комплексного коэффициента передачиK_f(j) в формуле (2.88). Кроме того, в формулах (2.88) изменен порядок индексации коэффициентов полиномов в формуле (2.88)

c_k,k= 0, 1, 2, …,n- 1 иd_k k= 0, 1, 2, …,n, т.е.

(2.89)

Для системы третьего порядка, т.е. при n= 3, интегралJ₃вычисляется согласно выражению

J₃ =. (2.90)

Для системы четвертого порядка, (т.е. при n= 4), формула для интегралаJ₄имеет вид

(2.91)

Удобно дисперсию ошибки представлять в виде

, (2.92)

где F_э=–эквивалентная шумовая полосарассматриваемой системы, равная полосе пропускания некоторой эквивалентной системы, имеющей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику (АЧХ)системыв замкнутом состояниис тем же коэффициентом передачи на нулевой частоте, что и в рассматриваемой системе.

Таким образом,

. (2.93)

Именно значение F_эхарактеризует помехоустойчивость системы.Чем шире полоса F_э, тем хуже помехоустойчивость системы.