2. Математические методы описания систем с прерывистым режимом работы

3.2.1.Уравнения в обратных конечных разностях

Рассматривается система автоматического управления, которая может быть описана линейным разносным уравнениемn-го порядка с постоянными коэффициентами

(3.28)

где x_i– дискретное входное (задающее) воздействие;y_i– искомая дискретная выходная величина;n, m– наивысшие порядки конечных разностей уравнения (3.28);a₀, a₁, …,a_n,b₀,b₁, …,b_m– заданные коэффициенты.

Дискретные функции x_iиy_i,i = 0, 1, … , в уравнении (3.38) могут представлять собой совокупность коэффициентов в записи идеальной решетчатой функции (3.1), формировать одномерные массивы чисел или выборочные значения искусственно дискретизируемых непрерывных функций.

3.2.2.Дискретная передаточная функция

Применив Z-преобразование к обеим частям выражения (3.28), получим уравнение, связывающееZ-изображенияY(z) и X(z).

(3.29)

Вынося за скобки Y(z) и X(z) и обозначая полученные в скобках полиномы переменной, получим сокращенную запись уравнения (3.29).

Дискретная передаточная функция W(z) есть отношение изображений Y(z) и X(z) при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия всегда предполагаются (x_i=y_i= 0 приi < 0). Искомая передаточная функция определяется в соответствии с уравнением (3.29)

. (3.30)

Предполагая, что порядок полинома числителя в (3.30) не превышает порядка полинома знаменателя (), умножением числителя и знаменателя дроби (3.30) наzⁿпередаточную функциюW(z) преобразуют к более привычному виду

(3.31)

3.2.3. Методы восстановления оригинала

В данном разделе рассматривается задача, обратная предыдущим задачам, т. е. по заданному уравнению в конечных разностях требуется восстановить дискретную функцию в виде идеальной решетчатой функции или в виде массиваy[iT₀] выборочных значений. Представлены два метода решения этой задачи.

Использование уравнений в конечных разностях

Уравнение в конечных разностях (3.28) при заданных коэффициентах и входного воздействия может рассматриваться как рекуррентное соотношение для определения массива чисел y_i,i = 0, 1, … .

Итак, для отрицательных моментов времени (i < 0) равны нулю входные воздействия и выходные величиныx_i=y_i= 0 (нулевые начальные условия).

При появляется входное воздействиеи в соответствии с уравнением (3.28) определяется значение выходной величины. В следующий момент временина систему действует новое воздействиеи из уравнения (3.28) находится значение. Подобным образом осуществляется процесс вычисления значений массива чисел

.

,

Использование формул разложения

Задана передаточная функция W_з(z) системы с прерывистым режимом работы иZ-изображениеX(z) задающего воздействия. Следовательно,Z-изображение искомой выходной величины определяется выражением

. (3.32)

Пусть W_з(z) иX(z) – дробно-рациональные функции, порядок полиномов числителей которых на единицу меньше порядков полиномов знаменателя () и имеют некратные корни знаменателей. Приравнивая нулю знаменатели и решая полученные уравнения, вычисляют корни полученных уравнений

В соответствии с теоремой Виета полиномы знаменателей представляются в виде

Тогда для функции Y(z) имеем

,

где

Введя обозначения

и вынося за знак суммы множитель , получим

. (3.33)

Для восстановления дискретной функции к обеим частям уравнения (3.33) применяем обратное преобразование Лапласа (см. формулу (3.16), но здесь d = z_j илиd = z_k) и, учитывая, что множительприводит к сдвигу по времени на один такт, получим

. (3.34)

Первое слагаемое в выражении (3.34) определяет переходный , второе–установившийсярежимы работы системы.

являетсядискретной импульсно-переходной характеристикой.Это реакция системы на идеальный импульс ()

, (3.35)

z_j – корни характеристического уравнения системы.