2. Линейные непрерывные системы

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Уравнение состояния системы

В настоящем разделе изучается одноконтурная аналоговая динамическая система автоматического управления. Динамической называется любая физическая система, все элементы которой, и в первую очередь объект управления, описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для математического описания динамики рассматриваемой системы используется метод пространства состояний. Вводится n-мерныйвектор состояниясистемы

(2.1)

где T– знак транспонирования.

Составляющие n-мерного вектора (2.1) называются переменными состояниями.

Система управляемая, поэтому вводится ещё и r-мерныйвектор управления

(2.2)

Это означает, что система обладает rстепенями свободы на управление.

Динамика описывается системой nдифференциальных уравнений состояния, решенных относительно производных переменных состояний первого порядка

.

Векторное уравнение состояния системы имеет вид

, (2.3)

где – непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция (в рассматриваемом случае – стационарная).

Переменные состояния есть функции времени. Вектор состоянияв пространстве состояния описывает кривую, называемую траекторией движения системы (или режимом её работы). Выходные (измеряемые или наблюдаемые) величины образуютn-мерный вектор, связанный с векторами состояния и управления зависимостью

(2.4)

где – дифференцируемаяn-мерная вектор-функция.

Если заданы вектора управления и начальные условиято интегрирование векторного уравнения состояния (2.3) позволяет определить зависимостии на заданном отрезке времени, характеризующиединамическим режимом работы системы.

Контрольные вопросы

1. Какая система называется динамической?

2. В чем заключается метод пространства состояния?

3. Как выглядит векторное уравнение состояния системы?

4. Как описывается динамический режим работы системы?

2.2. Методы линеаризации

В общем случае вектор-функции ив уравнениях (2.3) и (2.4) являются нелинейными. Если эти функции удаётся линеаризовать, то изучение подобных нелинейных, нолинеаризованных системпроводится с использованием более простых методов, применяемых для линейных систем автоматического управления.

2.2.1. Линеаризация статической нелинейности

Статическая нелинейность задается функцией . Пусть линеаризация проводится при соблюдении условий,,

. Если диапазон изменения аргументадостаточно мал, то справедливо соотношение, которое с введением обозначения, приводит к линейному уравнению относительно новой переменной

. (2.5)

Если диапазон изменения аргумента хфункцииy=ϕ(x) настолько велик, что провести линеаризацию во всем диапазоне невозможно, то выбираются несколько значений аргументаx₀,x₁, … , которые определяют рабочие (опорные) режимы работы системы (или элемента системы). Тогда в достаточно небольшом диапазоне изменения переменнойх относительно выбранного рабочего режимаx_iполучим линеаризованные уравнения (2.5) с коэффициентами. Значения коэффициентовk_iпри этом могут существенно отличаться друг от друга.

2.2.2. Линеаризация динамической нелинейности Линеаризация относительно положения равновесия

Динамический режим работы системы задан уравнениями (2.3) и (2.4). Пусть для системы существует стационарный режим, определяющий её положение равновесия, т.е.

Таким образом, в положении равновесия векторы являются постоянными. Если рассогласования достаточно малы, то линеаризация векторных уравнений (2.4) и (2.5) приводит к уравнениям вида

Частные производные вектор-функций ипо составляющим векторов и образуют матрицыA,B,C,D, все элементы которых постоянны (не зависят от времени).

(2.6)