13.2. Расчет соединений, включающих группу болтов

Расчет сводится к определению расчетной нагрузки, действующей на наиболее нагруженный болт. Затем этот болт рассчитывают на прочность в соответствии с одним из рассмотренных случаев нагружения. Различают следующие варианты расчета соединений, включающих группу болтов.

Случай 1. Нагрузка, действующая на соединение, перпендикулярна к плоскости стыка, проходит через его центр тяжести. Это – типичный случай крепления фланцевых соединений, круглых и прямоугольных крышек. Все болты такого с о- единения нагружены одинаковым усилием. При расчете болтов в формулы вместо F подставляют Fp.

Случай 2. Нагрузка сдвигает детали соединения в плоскости стыка. Примером подобного соединения могут служить опорные устройства типа кронштейна с консольно приложенной нагрузкой по отношению к центру тяжести болтового соединения. При расчете соединения действующую нагрузку приводят к центру тяжести соединения. Пользуясь принципом независимости действия сил, определяют составляющие от силы и момента, действующие на каждый болт, и их равнодействующую. Последующий расчет выполняют для наиболее нагруженного болта.

Случай 3. Нагрузка приложена асимметрично и раскрывает стык деталей (рис. 13.7, а). Решение задачи обычно является комбинированным: расчет выполняют по условию нераскрытия стыка, а также при наличии составляющих нагрузки, параллельных стыку, по условию сдвига в плоскости стыка.

Первое условие соответствует случаю, когда болт затянут, а внешняя нагрузка раскрывает стык деталей. Отличие состоит в том, что действующий на соединение момент вызывает неодинаковую нагруженность болтов.

170

Рис. 13.7. Болтовое соединение с ассиметрично приложенной нагрузкой: схема соединения (а); схема приведения сил

к центру тяжести сечения (б); эпюры напряжений в стыке (в)

171

Действующую нагрузку раскладывают на составляющие, одна из которых S параллельна плоскости стыка, а другая N перпендикулярна, и приводят к центру тяжести стыка:

S = Rcosα ; N = R sinα .

Момент в центре тяжести стыка

М = Sh – Na.

Составляющая N и момент М раскрывают стык, а составляющая S сдвигает детали в стыке. Раскрытие стыка и сдвиг деталей исключают затяжкой болтов соединения соответствующей силой FЗ. Задача состоит в нахождении этой силы и расчете по ней болта. Силу FЗ определяют по наиболее нагруженному болту. Диаметр остальных болтов соединения принимают равным диаметру наиболее нагруженного болта.

Далее рассчитывают FЗ по условиям нераскрытия стыка и сдвига деталей в стыке.

По максимальному из полученных значений FЗ выполняют расчет болтов.

По условию нераскрытия стыка FЗ рассчитывают исходя из анализа напряжений, возникающих в плоскости стыка соединения двух деталей. До приложения нагрузки R в стыке возникают напряжения смятия (напряжения затяжки)

σЗ = FЗz , Aст

где Аст – площадь стыка, которую определяют без учета площади, занимаемой отверстиями под болты.

Принимают, что напряжения смятия (как и напряжения от сил N и S) распределяются равномерно по площади стыка. Сила N вызывает в стыке напряжения растяжения, т. е. уменьшает напряжения смятия, если она направлена от стыка, и увеличивает напряжения смятия, если направлена к стыку. Эти напряжения определяются выражением

172

Обычно в соединениях подобного типа χ не превышает

0,2...0,3, и для упрощения расчета принимают χ = 0, что идет в запас прочности.

Момент М при нормальной работе соединения вызывает поворот плоскости стыка вокруг оси у (рис. 13.7, б), проходящей через центр тяжести площади стыка. Напряжения в стыке от момента пропорциональны расстоянию площадок до оси поворота и достигают максимального значения у кромок сечения точки А и В. Максимальные напряжения в стыке (сжатия и растяжения) от момента

σM = M (1− χ).

Wст

При χ ≈ 0

σM = M ,

Wст

где Wст – момент сопротивления площади стыка при повороте вокруг оси у, мм3. На рис. 13.7, в приведены эпюры напряжений в стыке от действия каждого силового фактора и суммарная эпюра для приведенной схемы нагружения соединения. Приняв условно напряжения смятия (затяжки) положительными, определим максимальные и минимальные (по абсолютному значению) напряжения:

σmax =σЗ σN +σM ;

σmin =σЗ σN −σM > 0.

Знак перед напряжениями σN определяется направлением составляющей N. Верхний знак соответствует схеме на рис. 13.7.

173

Условие нераскрытия стыка σmin > 0 или σЗ > ±σN + σМ.

Окончательно для σЗ, введя коэффициент запаса k по нераскрытию стыка, получим

выражение (13.19) позволяет определить σ3 , а затем по σ3 необходимую силу затяжки наиболее нагруженного болта:

Если материал основания недостаточно прочен (бетон, древесина), то необходимо проверить на прочность основание по максимальным напряжениям смятия

где [σсм ] – допускаемое напряжение на смятие материала од-

ной из деталей в стыке (для стали равно 0,8στ, для чугуна 0,4σв, для бетона 1÷2 МПа, для древесины 2÷4 МПа). Если у словие (13.21) не удовлетворяется, то следует изменить (увеличить) размеры стыка.

Силу затяжки FЗ по условию отсутствия сдвига деталей в стыке рассчитывают для соединений без устройства, исключающего сдвиг деталей. Сдвиг деталей отсутствует, если сила трения с запасом превышает силу сдвигаS. При этом

(FЗz ± N)f = k1S ,

где k1 =1,3..2,0– коэффициент запаса от сдвига; f – коэффициент

трения (для пары сталь (чугун)– бетон f ≈ 0,3…0,5, сталь (чугун)

– древесина f ≈ 0,25, сталь – чугун (сталь) f ≈ 0,15…0,2); знак минус в формуле, если силаN направлена от стыка (отрывает кронштейн), знак плюс, если сила N направлена к стыку. Раскрыв скобки, определяют силу затяжки:

174

З zf

Найденные по формулам (13.20) или (13.22) значения силы затяжки FЗ сравнивают и выбирают наибольшее. При последующем расчете болтов на прочность используют наибольшее значение FЗ. Расчетная нагрузка Fр складывается из максимального значения FЗ и сил, приходящихся на болт от действия нормальной составляющей N и момента М; расчет ведут с учетом коэффициента внешней нагрузки χ. Внешнюю нагрузку FN, приходящуюся на один болт от дей ствия силы N, определяют из предположения равномерного распределения ее между болтами, нагрузка на болт от действия момента пропорциональна расстоянию болта до оси поворота. Максимальные нагрузки от силы и момента запишем в виде

здесь li – расстояние от i-го болта до оси симметрии; lmax = li max. Таким образом, расчетная нагрузка будет равна

Fp =1,3FЗ + χ(FM ± FN ),

где χ = 0,2…0,3 (детали стыка считают жесткими).

Затем определяют внутренний диаметр болта di, а по таблицам стандарта находят соответствующую резьбу.

Расчет болтов при действии переменной нагрузки. Пример подобного соединения – болты нижнего подшипника шатуна двигателя внутреннего сгорания (рис. 13.8), которые должны надежно удерживать головку шатуна. Болт в соединениях подобного типа рассчитывают по пределу выносливости.

175

Рис. 13.8. Болта подшипника шатуна:

1 – шатун; 2 – прокладка; 3 – головка шатуна; 4 – болт

Диаграмма изменения сил и напряжений в болтах затянутого соединения с переменной внешней нагрузкой, изменяю-

щейся от 0 до χF, приведена на рис. 13.9.

При этом, чем меньше переменная составляющая χF по сравнению с силой затяжки FЗ, тем лучше условия работы болта; поэтому стараются выполнить болт более податливым. При действии переменной нагрузки болт рассчитывают по пониженным допускаемым напряжениям:

[σR′ ]=γ[σ′];

[τR′ ]=γ[τ′];

γ = (aKσ +b)−1(aKσ −b)R ≤1,

здесь Kσ (Kτ) – эффективный коэффициент концентрации нормальных (касательных) напряжений;

а,b – коэффициенты (для углеродистых сталей а = 0,58, b = 0,26; для низколегированных а = 0,65, b = 0,30) без учета переменного характера действия нагрузки.

176

177

При этом обязателен проверочный расчет, который заключается в определении коэффициента запаса по пределу выносливости nR и сравнении его с допускаемой величиной [nR]:

nR = σakσσ+−ψ1 σσm ≤ [nR ]

εMεn

где σ-1, – предел выносливости материала болта;σa – амплитуда возникающих в болте переменных напряжений; kσ – эффективный коэффициент концентрации напряжений; εM – масштабный фактор; εn – коэффициент качества поверхности (при расчетах

болтовых соединений εn ≈ 1); ψσ – коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии цикла на-

пряжений; σm – среднее напряжение цикла (рис. 13.9). Коэффициенты определяют по таблицам. Значения эф-

фективных коэффициентов концентрации напряжений kσ для метрической резьбы можно брать в следующих пределах: для

углеродистых сталей kσ = 4,0…6,0; для легированных сталей с σв < 1300 МПа kσ = 5,5…7,5; для титановых сплавов kσ = 4,5…6,0. Большие значения kσ принимают для болтов из более прочных материалов и болтов, термически обработанных до нарезания резьбы. Для накатанных резьб kσ уменьшают на 20÷30 %. При использовании гаек, выравнивающих нагрузку по виткам резьбы, kσ уменьшают на 30÷40 %.

Коэффициент ψσ зависит от состава стали: для низкоуглеродистой стали ψσ = 0,05; для среднеуглеродистой ψσ = 0,1, для легированной стали ψσ = 0,15.

Допускаемый коэффициент запаса по пределу выносливости [nR] зависит от характера затяжки: [nR] = 2,5…4,0– при неконтролируемой затяжке и [nR] = 1,5…2,5 – при контролируемой затяжке. Среднее напряжение цикла и амплитуда переменных напряжений равны

здесь Aδ – площадь поперечного сечения болта.

Изменение напряжений в стержне болта при действии переменных напряжений показано на рис. 13.9, б. Кроме коэффициента запаса nR при действии переменных напряжений, определяют коэффициент n запаса статической прочности материала по пределу текучести и сравнивают его с допускаемым значением

где σmax = σm +σa – максимальное напряжение цикла (см. рис. 13.9, б); [n] – допускаемый коэффициент запаса по пределу текучести (при неконтролируемой затяжке определяют по табличным данным, при контролируемой затяжке

[n] = 1,2…1,5). При nτ > [n]τ и n > [n] болт удовлетворяет условию прочности при действии переменных напряжений.

Общие и теоретические вопросы рассмотрены в [1, гл. 8; 2, гл. 10; 3, гл. 5; 4, гл. 8; 5, гл. 3]. Примеры расчетов резьбовых соединений имеются в [3, §29; 5, гл.3, 14, гл. 5]. Некоторые наиболее характерные резьбовые соединения рассмотрены ниже.

179

Пример 7

Рассчитать болты дисковой муфты (рис. 13.10). Пе-

D = 240 мм. Материал полумуфт и болтов – сталь Ст. 3, число болтов z = 4 . Затяжка болтов неконтролируемая. Действующие нагрузки считать статическими. Расчет болтов выполнить для двух случаев установки в отверстия: с зазором и без зазора.

Рис. 13.10. Схема к расчету болтов дисковой муфты

Решение

Определим вращающий момент, передаваемый муфтой:

M = ωN = 4030103 =1330 Н м.

Окружная сила, воспринимаемая одним болтом:

Расчет болтов, установленных в отверстия с зазором

По табл.4 [1] для стали Ст. 3 выбираем [σ]Т = 220 МПа. По табл.12 [3] выбираем коэффициент запаса прочности при неконтролируемой затяжке n = 2,5.

180

Определяем допускаемые напряжения на растяжение, срез и смятие [1,§37]:

[σ ]P = σnT = 2202,5 =88МПа;

[τ]С = 0,3 σТ = 0,3 220 = 66 МПа; [σ ]СМ = 0,8 σТ = 0,8 220 =176 МПа.

Болт также можно выбрать по табл. 3.10 [5] в зависимости от величины РЗАТ и принятого материала.

Расчет болтов, установленных в отверстия без зазора

Из условия прочности на срез τСР = π4 dP2′ ≤ [τ]СР определяем потребный диаметр стержня болта

181

Выбираем ближайший больший по размеру болт – М 8. Очевидно существенное уменьшение размеров болта (и все-

го соединения), установленного в отверстие без зазора (сравнить

М 8 и М 24).

Пример 8

Рассчитать болт клеммового соединения (рис. 13.11), если D = 20 мм; Р = 400 кН; а = 20 мм;

ℓ = 300 мм. Материал вала – сталь; материал рычага – чугун. Затяжка болта неконтролируемая.

Рис. 13.11. Схема к расчету клеммового соединения

Решение

При расчете клеммового соединения с прорезью дополнительной силой затяжки болтов пренебрегают или учитывают е введением коэффициента К = 1,1. [1].

Полагая, что момент сил трения на 20 % превышает внешний момент М, т.е. коэффициент запаса от сдвига К = 1,2, тогда

МТ = 1,2М = 1,2P·ℓ.

Принимаем коэффициент трения f = 0,15. Определяем усилие затяжки болта

182

По условию компоновки (рис. 13.11) диаметр болта не должен быть более 18 мм.

Определяем потребный диаметр болта из расчета (пример 7) или непосредственно по табл. 3.10 [5], выбираем болт М16, материал 12XH2. Предельная продольная осевая нагрузка для выбранного болта Р = 18 кН.

Пример 9

Рассчитать болты, с помощью которых полоса 1 прикреплена к металлической колонне 2 (рис. 13.12). Угол α = 30°; Р = 20 кН. Коэффициент трения в плоскости стыка f = 0,2. Материал полосы и колонны – сталь Ст.3. σТ = 240 МПа. Материал болтов – сталь 45 закаленная. σТδ = 580 МПа. Затяжка болтов неконтролируемая.

Рис. 13.12

183

Решение

Разложим силу Р на горизонтальную (Рx) и вертикальную (Рy) составляющие:

Рy = P·cos·30o = 20·0,86 = 17,2 кН;

Рx = P·sin·30o = 20·0,5 = 10 кН.

Перенесем силы Рx и Рy в центр тяжести треугольника c вершинами, совпадающими с центрами отверстий под болты (рис. 13.13), и добавим моменты

МРx = – Рx ·b = – 10 ·0,3 = – 3 кН·м;

МРy = Рy·(а+С) = 17,2·0,54 = 9,29 кН·м,

где С = (1/3)·ℓ = 40 мм.

Результирующий момент

МR = МР – МРx = 6,29 кН·м.

Силы и момент действуют в плоскости стыка и должны быть уравновешены силами трения.

Силу Рy уравновешивают три силы:

Р′y = Рy /Z = 17,2/3 = 5,73 кН·м.

Cилу Рx тоже уравновешивают три силы:

Р′y = Рx/Z = 10/3 = 3,33 кН.

Момент МR уравновешивают моменты трех силР', каждая из которых направлена перпендикулярно радиусу, проведенному от центра тяжести стыка к центрам сечений болтов. Болты нагружены неодинаково. Наиболее нагруженным является болт 1, воспринимавший наибольшую по величине равнодействующую сил:

P′ = MRz rmax ,

∑r12 i+1

где rmax = 1002 + 402 =108 мм. 184

P′ = ( 26,29 100, 2 10,,82 )= 22,9кН . 8 +108 +108

Рис. 13.13

По схеме сил на рис.13.13определим равнодействующую на болт 1:

R′ = (Px )2 + (Py )2 = 3,332 + 5,732 = 6,63кН .

Используя теорему косинусов, получим

R= (P′)2 +(R′)2 −2 P′ R′cosβ =

= 22,92 +6,632 + 2 22,9 6,63 0,78 = 28,4кН.

Дальнейшее решение задачи аналогично решению, рассмотренному в примере 7.

185