В выражении (2.18) разделим левую и правую часть на ϕ1 и, получим

ϕn = ∏'(ϕ1).

ϕ1

Аналог скорости – это отношение скоростей выходного и входного звеньев. Аналог скорости является функцией положения механизма.

Существуют механизмы, где ∏'(ϕ1) =const, например

зубчатые передачи с круглыми колесами. Здесь аналог скоростей называется просто передаточным отношением.

В кулачковых механизмах при ϕ1=const и ϕ1≠const функ-

ция ∏'(ϕ1) не постоянна. Это вызывает дополнительные ди-

намические нагрузки в механизмах, связанные с силами инерции, которые, в свою очередь, обусловлены ускорениями.

Продифференцируем по времени выражения (2.17) и (2.18), получим линейное ускорение

=∏''(ϕ1) ϕ12 +∏'(ϕ1) ϕ1

иугловое ускорение

ϕn = ddt2ϕ2 =∏'(ϕ1) ϕ12 +∏'(ϕ1) ϕ1 .

2.2. Силовой анализ механизмов

Силовой анализ механизмов представляет собой решение первой задачи динамики системы: определение сил по заданному закону движения. Определению подлежат реакции в кинематических парах механизма. Для решения этой задачи в

46

«Теории механизмов и машин» применяется метод кинетостатики. Метод кинетостатики это формальный прием, который позволяет записать уравнения движения в форме уравнений равновесия и, следовательно, решать задачу методами статики.

Заметим, что метод кинетостатики это не единственный способ решения этой задачи: можно, освобождаясь от связей, вводить реакции связей в уравнение движения системы и находить последние из них. Звенья механизма, находящегося в движении, в общем случае не находятся в равновесии, т.к. они движутся с ускорениями.

Однако мы можем рассматривать равновесие всего механизма и каждого звена в отдельности, если применим к решению этой задачи принцип Даламбера, который утверждает следующее: если систему, находящуюся в движении, в какой – либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы, реакции связей и силы инерции, то система останется в равновесии.

При определении неизвестных реакций мы будем расчленять механизм, пользуясь принципом освобождаемости от связей, т.е. будем выделять из механизма группы звеньев и отдельные звенья, рассматривать их равновесие. При этом действия отброшенных звеньев на рассматриваемые будем представлять реакциями, действующими на рассматриваемые звенья со стороны отброшенных в расчлененных кинематических парах.

2.2.1. Условие статической определимости кинематических цепей

Расчленяя механизм на части и прикладывая в расчлененных кинематических парах реакции со стороны отброшенных звеньев, следует иметь в виду, что не всякая выделенная из механизма кинематическая цепь будет статически определимой системой. Статически определимой будет такая система, в которой число неизвестных (определяемых сил) будет равно числу уравнений статики. Для плоских механизмов, в

47

состав которых входят кинематические пары 5-го и высшие пары 4-го классов, и на которые действует плоская система сил, число неизвестных реакций связей совпадает с числом ограничений, имеющихся в этих кинематических парах. Так, например, соединение звеньев во вращательную кинематическую пару 5-го класса отнимает возможность движения центра вращения вдоль координатных осей за счет возникновения сил, препятствующих движению в этих направлениях.

Таким образом, определению подлежат обе проекции силы реакции на координатные оси, т.е. неизвестных будет два. Если же говорить о равнодействующей силе реакции как о векторе, то неизвестными будут величина и направление силы. Третья характеристика силы – точка ее приложения – может быть условно помещена в центр шарнира (поскольку сила – это скользящий вектор). Конечно, «точка приложения» это понятие условное, так как силы реакции распределены по поверхности соприкосновения звеньев, однако равнодействующая реакции проходит через центр шарнира (рис. 2.12).

Соединение звеньев в поступательную пару 5-го класса отнимает свободу движения вдоль одной из координатных осей (этому движении препятствует сила, направленная вдаль этой оси) и свободу вращения вокруг оси, перпендикулярной координатной плоскости. Это говорит о том, что реакция создает момент, направленный против момента активных сил. Таким образом, в этой кинематической паре также имеются две неизвестные характеристики силы: величина и точка ее приложения.

48

Обычно начало координат помещается в центр смежной вращательной кинематической пары, относительно оси которой могло бы совершаться вращение рассматриваемого звена (рис. 2.13).

a 1

Рис. 2.13

В высшей паре четвертого класса неизвестна только одна характеристика силы: ее величина, т.к. направление е (по нормали к соприкасающимся поверхностям звеньев) и точка приложения известны (рис. 2.14).

N

N

Рис. 2.14

Таким образом, если в выделенную из механизма кинематическую цепь будет входить n звеньев, то для них можно

составить 3n уравнений статики (Σx=0, Σy=0, Σz=0). Число неизвестных в этих уравнениях будет соответствовать удвоенному числу кинематических пар 5-го класса плюс число кинематических пар 4-го класса, т.е. общее число неизвестных в выделенной кинематической цепи будет равно 2Р5+Р4. Для того чтобы кинематическая цепь была статически определимой, число уравнений должно быть равно числу неизвестных, т.е. должно удовлетворяться условие

49