Полученный механизм (обращенный механизм) представляет ступенчатую передачу, передаточное отношение которой

Из последней формулы можно определить передаточное отношение для планетарного механизма (ω4 =0):

U14(H ) = ω−1 −ωωH =1−U1(H4) .

H

Передаточное отношение планетарного механизма при ведущем водиле

UH(41) = U1(4) ,

1H

где U1(H4) передаточное отношение при ведущем центральном колесе 1.

4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

МКЭ первоначально появился в строительной механике, сейчас он широко применяется во многих научных и инженерных приложениях.

МКЭ характеризуется следующими свойствами:

1)физическая область делится на подобласти или конечные элементы;

2)зависимая переменная (одна или несколько) аппраксимируется функцией специального вида на каждом конечном

элементе и, следовательно, во всей области. Параметры этих аппроксимаций в последующем становятся неизвестными параметрами задачи;

3) подстановка аппроксимаций в определяющие уравнения дает систему множества уравнений с неизвестными параметрами. Решая эти уравнения, можно определить значения этих параметров и, следовательно, получить приближенное

71

решение задачи. Так как число неизвестных в окончательной системе уравнений часто весьма велико, то общепринято использовать матричные обозначения как для сокращения записи, так и для облегчения программирования.

Метод конечных элементов предполагает процедуру решения для непрерывной системы, т.е. системы, охватывающей явление в непрерывной области.

4.1. Строительные конструкции

Рассмотрим плоскую шарнирно-соединенную ферму. Предполагается, что ферма собрана без предварительного напряжения, а нагрузки приложены в узлах (рис. 4.1).

Fx2 ,Fy2 и Fx3 ,Fy3 на оси х, у соответственно.

Смещения узлов элемента от их исходного положения (до приложения нагрузки) обозначим δ2 и δ3 с компонентами

δx2, δy2 и δx3, δy3 соответственно. В матричной форме:

72

Компоненты продольной силы Р могут быть приравнены к компонентам шарнирных сил, и уравнение (4.1) примет вид

С множителем EAL , внесенным в квадратную матрицу, уравнение (4.6, а) приобретает вид

Если матрицы разбиты штриховыми линиями, то уравнение (4.6, б) можно записать следующим образом:

Уравнение (4.6, в) является матричным уравнением для элемента е6, и его квадратная матрица коэффициентов [К] называется матрицей жесткости элемента. Подобные уравнения могут быть получены и для других элементов. Уравнен ие (4.6, в) может быть расширено так, чтобы оно включало все узловые смещения системы:

Уравнение (4.6, г) представляет собой расширенное матричное уравнение для элемента е6:

где [Ke6 ] – расширенная матрица жесткости элемента е6,

{δ} – вектор узловых перемещений системы.

Внешние силы R1, R2, …R6 могут быть выражены через

х–у компоненты Rx1 ,Ry1 ,Rx2 ,Ry2 ... Rx6 ,Ry6 ,а условия равновесия в узловых точках могут быть определены через эти компонен-

ты. Например, в узле с номером 2 условие равновесия в направлении х имеет вид

Хотя в правую часть равенства (4.7) дают вклад только те элементы, которые содержат узел 2, удобно записать это соотношение в общем виде:

7

Rx2 = ∑Fxe2i , (4.8, а)

i=1

или

7

Rx2 = ∑Fxe2 . (4.8, б)

e=1

Аналогичное соотношение получается для другой компоненты вектора R2:

7

Ry2 = ∑Fye2 . (4.8, в)

e=1

Уравнения (4.8, б) и (4.8, в) можно объединить в матри ч- ной записи:

Аналогичные уравнения могут быть записаны и для других узлов. Результирующая система уравнений равновесия записывается в виде

Это уравнение называется матричным уравнением системы, а матрица К, задаваемая равенством

e=1

называется матрицей жесткости системы.

Процедура, использованная выше для объединения матричных уравнений элементов, называется поэлементным объединением. Метод анализа конструкций, описанный выше, называется методом перемещений и может быть распространен на случаи:

а) начальных конструкционных (сборочных) или тепловых деформаций;

б) массовых сил, таких как гравитационные; в) распределенных нагрузок, приложенных к стержням.

Вводя три дополнительных вектор-столбца в уравнение

(4.12), получим

где Fε0 , Fв , Fd соответствуют конструкционным и тепловым

деформациям в системе, массовым силам и распределенным нагрузкам.

77

Этот анализ может быть распространен на трехмерные фермы и случаи жестких соединений, когда силы и моменты передаются через узлы.

Пример

Для шарнирно-соединенной фермы (рис. 4.3) вычислить смещения в узле 2, предполагая, что каждый стержень имеет длину равную 10 см и поперечное сечение равное 1 см2. Модуль Юнга Е = 2×106 кг/см2.

Согласно уравнению (4.3), для элемента 1 сила, действующая вдоль стержня, равна

78