4.2.2. Пластинчатый элемент треугольной формы

Рассматриваемый элемент (рис. 4.6) применяется для моделирования тонких упругих пластин, находящихся в состоянии суперпозиции изгибного и плоского напряженного (мембранного) состояний. В последнем варианте такого рода элементы эффективно применяются для аппроксимации оболочек как совокупности плоских элементов.

в форме произвольного треугольника: нумерация узлов и обозначения узловых перемещений в мембранном (а), изгибном (б) состояниях и при их суперпозиции (в)

Узлы элемента i, j, kрасполагаются только в углах и нумеруются против хода часовой стрелки, если смотреть на пластинку с «лицевой» стороны.

Локальная матрица жесткости такого элемента при суперпозиции мембранного и изгибного состояний имеет блочную структуру из подматриц.

Изгибное состояние элемента описывается путем аппроксимации функции прогибов полиномом в L-координатах с де-

вятью неопределенными коэффициентами α1,..., α9, число к о- торых соответствует числу степеней свободы изгибаемого треугольного элемента. С учетом выбранного положительного направления узловых перемещений (рис. 4.6, б) функции формы, соответствующие первому узлу, имеют вид:

86

Функции форм для остальных узлов получаются цикли-

ческой перестановкой индексов i→ j→ k.

На основе исходных зависимостей технической теории изгиба тонких упругих пластин для компонентов относительных деформаций

Матрица жесткости в изгибном состоянии вычисляется с помощью чи сленного интегрирования по формуле, дающей точный результат:

Матрица упругости [DИ] изгибаемой пластины выражается через матрицу [D] в мембранном состоянии формулой

Последовательная нумерация всех узловых перемещений, соответствующих суперпозиции мембранного и изгибного со-

стояний пластинчатого треугольного элемента, принятая в локальной системе координат, приведена на рис. 4.6, в.

87

В глобальной системе принято единое правило знаков –

положительным считается поворот против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного «конца» соответствующей оси. Учет правила знаков при преобразовании матрицы из локальной системы в глобальную осуществляется соответствующим заданием направляющих косинусов.

4.2.3. Пластинчатый элемент четырехугольной формы

Рассматриваемый элемент (рис. 4.7) строится аналогично треугольному – на основе суперпозиции мембранного и изгибного состояний. Нумерация узлов i, j, k, m осуществляется против хода часовой стрелки, если смотреть на пластину (оболочку) с лицевой стороны.

в

Рис. 4.7 Пластинчатый элемент в форме прямоугольника: нумерация узлов и обозначения узловых перемещений

вмембранном (а), изгибном (б) состояниях

ипри их суперпозиции (в)

Изгибное состояние описывается путем аппроксимации прогибов неполным полиномом четвертой степени с неопреде-

88

ленными коэффициентами α1,…,α12, число которых соответствует числу узловых степеней свободы изгибаемого элемента:

Функции формы изгибаемого прямоугольного элемента, полученные путем нахождения коэффициентов α1,…,α12 и определяющие аппроксимацию (4.35), имеют вид:

N7 = 32yl22 + 4xyal− yl33 + 32xyal22 − xyal33 − 4xa33yl ;

N8 = − 2y2l + 2yl32 − xy2al2 + 2xyal32 ;

N10 = 32yl22 − 4xyal− yl33 − 32xyal22 + xyal33 + 4xa33yl ;

N12 = ay4l − xy4l − x42aly + 4xa32yl .

89