1.2. Волновое уравнение электронов

Благодаря наличию у электрона волновых свойств, движение его в атоме может быть описано с помощью квантово-механического волнового уравнения. Впервые волновое уравнение было получено австрийским ученым Эрвином Шрёдингером и носит его имя. Это уравнение связывает энергию электрона с пространственными координатами и так называемой волновой функцией .

Для частицы, движущейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией W_п (x,y,z,t), уравнение Шрёдингера имеет вид:

.

Функция , являющаяся решением этого уравнения, называется волновой функцией. Эта величина – комплексная, поэтому физический смысл имеет не сама функция , а ее модуль * = ² . Эта величина выражает плотность вероятности нахождения электрона в соответствующей области пространства в данный момент времени. Другими словами, вероятность обнаружения электрона в некотором объеме V выражается произведением ²V.

Рассмотрим более подробно суть решения уравнения Шрёдингера.

В идеальном кристалле на электрон действует самосогласованное электрическое поле, которое является суммой полей ионов решетки и всех электронов в кристалле. Зонная теория твердого тела предполагает, что потенциальная энергия электрона в этом поле является периодической функцией с периодом, равным периоду решетки. При этом уравнение Шрёдингера имеет решение в виде функции Блоха:

,

где – периодическая функция с периодом решетки кристалла; – волновой вектор; – радиус-вектор.

Таким образом, волновая функция представляет собой плоскую волну с периодически модулированной амплитудой.

Уравнение Шрёдингера имеет отличные от нуля решения только при некоторых дискретных значениях энергии W, то есть имеет место некоторое квантовое состояние. Каждому квантовому состоянию соответствует определенное значение энергии электрона, а также его импульса р = m₀ v.

Для свободного электрона с потенциальной энергией W_п модуляция амплитуды плоской волны отсутствует. В этом случае энергия электрона и его импульс определяются соотношениями:

,

где т₀ – масса электрона; v – групповая скорость.

Эта зависимость представляет собой закон дисперсии свободного электрона.

В полупроводниковом кристалле закон дисперсии искажен периодическим полем решетки. Он может быть представлен в виде многозначной функции , полностью определенной в зоне Бриллюэна – области пространства, размеры которой определяются периодом кристаллической решетки а. Для трехмерной решетки границы зоны Бриллюэна находятся в строго определенном соответствии с границами кристаллической ячейки. Многозначность функции соответствует разделению энергетического спектра кристалла на разрешенные зоны.

В зоне проводимости электроны заполняют разрешенные состояния вблизи минимальной энергии W_С, которую называют дном зоны проводимости. Этой энергии соответствует значение волнового вектора . Если = 0, то есть энергетический уровень находится в центре зоны Бриллюэна, и функция не зависит от направления волнового вектора, то в окрестности точки = 0 функция может быть представлена в виде

, где .

Отсюда следует, что вблизи дна зоны проводимости электроны могут рассматриваться как квазичастицы – электроны проводимости, свойства которых отличаются от свойств свободных электронов только значением эффективной массы т_п^* . Энергия дна свободной зоны W_C может считаться потенциальной энергией электрона проводимости, энергия – его кинетической энергией, а величина – квазиимпульсом электрона проводимости.

В валентной зоне незаполненными электронами остаются только разрешенные состояния вблизи максимальной энергии W_В , которую называют потолком валентной зоны. При этом оказывается удобным рассматривать перемещение этих незаполненных состояний, введя понятие квазичастиц – дырок в валентной зоне. Заряд дырки положителен и равен по величине заряду свободного электрона. Закон дисперсии дырок симметричен закону дисперсии электронов, так как энергии W_В обычно соответствует нулевое значение вектора = 0. Эта точка является точкой вырождения, поскольку в ней смыкаются две дисперсионные ветви:

; ,

где m_pl и m_ph – эффективные массы легких и тяжелых дырок.

Энергия W_В может считаться потенциальной энергией дырок;

энергии для легких и тяжелых дырок – кинетической энергией;

– квазиимпульсом дырок.

Решая уравнение Шрёдингера для движения электрона в атоме водорода, можно получить выражение (1.7) для энергии электрона, которое мы получили, основываясь на гипотезе де Бройля.