3.3. Эффективная масса электрона

Пусть электрон движется в периодическом поле кристалла под действием внешнего поля напряженностью Е. Как и в том случае, когда электрон находится в свободном пространстве, это поле действует на электрон, находящийся в периодическом поле, с силой , направленной против действия поля.

Для электрона в свободном пространстве характер движения определяется только этой силой. На электрон, находящийся в периодическом поле, кроме внешней силы, действуют более мощные внутренние силы, создаваемые полем кристалла. Поэтому результирующее движение электронов в кристалле является более сложным, чем движение электронов в свободном пространстве.

Связь между ускорением, с которым движется электрон в периодическом поле кристалла под действием внешней силы F, и действующей силой выражается вторым законом Ньютона:

,

где W – работа, которая совершается внешней по отношению к кристаллу силой, действующей на электрон, в течение некоторого времени t; k – волновое число, которое связано с импульсом частицы и постоянной Планка соотношением:

.

Из этой формулы следует, что под действием внешней силы F электрон в периодическом поле кристалла движется в среднем так, как двигался бы свободный электрон, если бы он обладал массой

,

которая называется эффективной массой электрона. Таким образом, приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла, массу т_п^*, можно описывать его движение во внешнем поле так же, как и движение обычного электрона в свободном пространстве.

3.4. Концентрация свободных носителей и положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

Для определения концентраций свободных носителей заряда в собственном полупроводнике воспользуемся соотношениями, выведенными в курсе квантовой механики. Концентрация электронов dn в некотором элементарном диапазоне энергий dW с плотностью энергетических уровней S(W) пропорциональна произведению общего числа энергетических уровней S(W)dW в этом диапазоне на вероятность их заполнения f_n(W). Концентрацию электронов в зоне проводимости можно найти, интегрируя по всем энергетическим уровням, занятым электронами

.

Здесь W_Ck – энергия k-го уровня в зоне проводимости. Плотность энергетических уровней S(W) – это число разрешенных состояний, приходящихся на единичный интервал энергий в единичном объеме кристалла. В квантовой механике доказывается, что

.

Для невырожденных полупроводников можно для определения вероятности распределения электронов по энергиям можно воспользоваться статистикой Максвелла – Больцмана

.

Подставляя под интеграл выражения для плотности энергетических уровней свободной зоны и вероятность нахождения электрона на некотором определенном уровне в этой зоне, проинтегрируем от уровня, соответствующего дну свободной зоны W_C до некоторого k-го уровня в свободной зоне

.

В зоне проводимости электронами заполнены самые нижние энергетические уровни, вероятность заполнения верхних уровней практически равна нулю. С другой стороны, вероятность заполнения электроном бесконечно удаленного уровня тоже равна нулю, поэтому верхний предел интегрирования без большой погрешности можно заменить на бесконечность:

.

Введем обозначение

, (3.1)

где N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, приведенная ко дну зоны проводимости W_C. Тогда концентрация электронов в зоне проводимости определится соотношением

.

Аналогично можно определить концентрацию дырок:

, где . (3.2)

N_В – эффективная плотность состояний в валентной зоне, приведенная к потолку валентной зоны W_В.

Найдем положение уровня Ферми. В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны п = р, следовательно,

= .

Преобразуем это выражение

.

Прологарифмируем последнее выражение

.

Отсюда положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определится выражением

.

С учетом выражений (3.1) и (3.2) получим

. (3.3)

Здесь – середина запрещенной зоны.

Из выражения (3.3) следует, что при равенстве эффективных масс электронов и дырок уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен посередине запрещенной зоны, а при незначительно смещается относительно центра зоны.

Обозначим собственную концентрацию носителей заряда n_i . Поскольку в собственном полупроводнике п = р = п_i, то

.

Здесь ΔW_З = W_C – W_В – ширина запрещенной зоны. Отсюда собственная концентрация носителей заряда определится выражением

.