3.2. Статистика свободных носителей заряда

Для того чтобы проанализировать электропроводность полупроводника, необходимо знать концентрацию свободных носителей заряда и их распределение по энергиям. Одним из возможных законов распределения электронов по энергиям является распределение энергетических уровней, однако распределение электронов по энергиям будет соответствовать распределению уровней только в том случае, если все уровни данной зоны будут заняты электронами.

Наиболее простым частным случаем такого распределения будет собственный полупроводник при абсолютном нуле температуры Т = 0. В этом случае все возможные уровни валентной зоны заполнены электронами, и распределение электронов по энергиям будет строго соответствовать закону изменения плотности уровней. Все уровни зоны проводимости будут свободны, то есть в зоне проводимости не будет ни одного электрона. С повышением температуры некоторое количество электронов покидает валентную зону и переходит на уровни зоны проводимости.

Возникает вопрос: какова вероятность того, что тот или иной уровень в зоне проводимости будет занят электронами? Какова вероятность того, что тот или иной уровень валентной зоны лишится своего электрона и превратится в дырку? Ответ на этот вопрос дает статистика Ферми – Дирака. Согласно этой статистике вероятность того, что состояние с энергией W при данной температуре Т занято электроном, выражается функцией Ферми для электронов:

.

Здесь k – постоянная Больцмана.

Вероятность выражается в долях единицы.

Очевидно, что имеется две возможности:

1) уровень занят электроном;

2) уровень не занят электроном.

Сумма вероятностей этих событий должна быть равна единице. Вероятность того, что уровень в валентной зоне не занят электроном, соответствует вероятности нахождения на этом уровне дырки. Учитывая, что f_n + f_p = 1, получаем вероятность нахождения дырки на некотором уровне с энергией W, описываемую функцией Ферми – Дирака для дырок:

.

Здесь е ≈ 2,7 – основание натурального логарифма. Величина W_F называется энергией или уровнем Ферми. При любых значениях температуры уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уровнем, для которого характерна 50 %-ная вероятность заполнения (или незаполнения) его электроном (при W = W_F, f_n = f_p = 0,5).

Физически уровень Ферми представляет собой химический потенциал, а химический потенциал для равновесной системы обязательно одинаков по всей системе, следовательно, он будет одинаков для образца, состоящего из различных полупроводниковых материалов.

При Т = 0 функция Ферми для электронов для всех значений W > W_F будет равна нулю. Значит, при Т = 0 ни один уровень с энергией большей энергии Ферми не будет занят электронами. Мы уже знаем, что при температуре абсолютного нуля все уровни зоны проводимости будут свободны. Отсюда можно сделать вывод, что все уровни зоны проводимости лежат выше уровня Ферми.

Для всех значений W < W_F функция Ферми при Т = 0 обращается в единицу. Это, в свою очередь, означает, что все уровни с энергиями W, меньшими, чем энергия Ферми, будут заняты электронами. Действительно, в этих условиях полностью заняты все уровни в валентной зоне. Следовательно, все уровни валентной зоны лежат ниже уровня Ферми. Это значит, что уровень Ферми расположен ниже свободной и выше валентной зоны, то есть в запрещенной зоне. Далее мы увидим, что в собственном (беспримесном) полупроводнике уровень Ферми располагается вблизи середины запрещенной зоны.

П ри Т = 0 положение уровня Ферми W_Fi показано на рис. 3.2, а , где W_C – нижняя граница (дно) зоны проводимости, W_В – верхняя граница (потолок) валентной зоны.

Вид функции Ферми при Т = 0 изображен на рис. 3.5, б в виде ступеньки. С повышением температуры функция Ферми превращается в плавную кривую. Вероятность нахождения электрона в зоне проводимости становится отличной от нуля.

Нас не должно смущать, что значениям энергий, лежащим в запрещенной зоне, соответствуют некоторые значения функции Ферми. Это вовсе не означает, что электроны могут располагаться на уровнях в запрещенной зоне. Мы имеем право пользоваться функцией Ферми только на тех участках, где имеются уровни, разрешенные для электронов.

Положение уровня Ферми в запрещенной зоне можно характеризовать энергетическим состоянием его от границ разрешенных зон:

.

В большинстве случаев для полупроводников соблюдаются неравенства:

.

В этом случае экспонента в функции Ферми для уровней зоны проводимости и валентной зоны намного превысит единицу. Тогда распределение электронов и дырок по квантовым состояниям описываются упрощенными формулами Максвелла – Больцмана

, .

Если ширина запрещенной зоны мала и какая-либо из разностей окажется соизмеримой с величиной kT, то необходимо пользоваться распределением Ферми. Полупроводники, у которых уровень Ферми расположен в зоне проводимости или в валентной зоне, называются вырожденными. Полупроводники, для которых применимо распределение Максвелла – Больцмана являются невырожденными.