§ 1. Множества и операции с ними

В математике основным понятием является понятие множества. Множество — это совокупность объектов, объе­диненных по какому-либо признаку и воспринимаемых как единое целое.

В 70-х гг. XIX в. Георг Кантор ввел понятие «множество». С этого времени данное понятие в математике является фун­даментальным, исходным при определении других понятий: чисел, величин, формы и т. д.

Мир, в котором живет человек, представлен разнообраз­ными множествами: звездами на небе, животными вокруг него, разными звуками, частями собственного тела. Позна­ние человеком реальной действительности начиналось с осознания отдельных (единичных) предметов, а потом и их совокупностей. В словаре русского языка для их обозначе­ния есть специальные слова: «коллектив», «толпа», «свора», «рой», «лес», «оркестр», «сервиз» и т. д.

Множество характеризуется различными свойствами, поэтому говорят, что множество задано некоторыми харак­теристиками. Под этими характеристиками подразумевают­ся такие свойства, которыми владеют все объекты, принад­лежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т. е. этот предмет не является его элементом. Множество, в отличие от неопределенной множественности, имеет границы и может быть охарактери­зовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества. Множество — это прерывная, дискретная величина, в ней каждый элемент мо­жет быть выделен, посчитан.

В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элементами множества называют объекты, составляющие его. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек выявляет не только их равномощ-ность, но и отсутствие у множества того или другого эле­мента, той или другой его части. Есть два способа опреде­ления мощности множества: первый — пересчитыванием всех его элементов и называнием результата числом; дру­гой — выделением характерологических свойств множест­ва. (Так, характерологическим свойством всех четных чи­сел является делимость каждого из них на два.)

Обозначим некоторые множества большими латинским буквами А, В, С, D, а элементы множеств — малыми а, Ь, с, d.

Записи А_{ = (а, Ь, с, d) и А₂ = (- 2, -1,0,1,2) заданы пере­счетом или набором своих элементов. Если в заданном мно­жестве А₃ помимо названных элементов а, Ь, с, d есть еще элементы, которые невозможно указать, то вместо них ста­вят точки: А₃ = (а, Ь, с, d ...).

Принадлежность элемента а к множеству А! записывает­ся так: аЄА_{. Читается так: «а является элементом множест­ва А,» или «а принадлежит А!». Если нужно записать, что число 2 не принадлежит А!, записывают так: 2 ^ А! .Читается: «2 не принадлежит Aj».

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете пара­ми, тройками, десятками. В этих случаях элементами мно­жества выступает не один предмет, а два, три, десять — сово­купность.

Основными операциями с множествами являются: объе­динение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом объединение множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равняется сумме чисел эле­ментов только тогда, когда в обоих множествах нет общих эле­ментов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего?» видим пример объединения множеств, когда оно не равно сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включа­ется дважды (и в первое и во второе множество), он считается один раз. Или другой пример. Чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются студентами данного факуль­тета в семестре, необходимо из расписания каждого дня сде­лать выборку: к множеству предметов, которые изучают сту­денты в понедельник, добавить не все лекции, семинары по­следующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в предыдущих днях недели.

Таким образом, количество предметов будет меньше, чем общее количество занятий в неделю, т. к. есть предметы, ко­торые повторяются несколько раз.

Д ействия с множествами лучше всего изображать графи­чески. Так, на рис. 5 изображено объединений множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, ко­торое состоит из общих элементов. На рис. 6 графически изображено пересечение множеств. Так, например, если одно множество характеризуется по признаку формы (раз­личные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то пересечением этих множеств будут красные треугольники.

Рис. 6

При вычитании двух множеств получаем третье множе­ство, которое называется разностью. Разность включает элементы первого множества, которые не принадлежат вто­рому. Так, если первое множество состояло из геометриче­ских фигур разного цвета, а второе — из красных геометри­ческих фигур, то разностью являются все геометрические фигуры, включенные в первое множество, но не красного цвета. Или такой пример. Обозначим множество студентов в группе буквой А, множество девушек в этой группе — В. Чтобы узнать множество юношей в их группе, надо вычесть элементы второго множества из первого (А—В).

На рис. 7 заштрихованная часть является разностью двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются та­кие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощное

и неравномощное, одно-, двухэлементное, пустое множество, насть множества, или подмножество.

При этом заметим, что дети раннего и дошкольного воз­растов в основном знакомятся только с конечными, непере­секающимися множествами.

Блок самопроверки

дискретная, множеством множественности

В математике ... величина называется ... . Множество в отличие от неопределенной ... имеет границы и может быть определено на- туральным .... Объекты, составляющие мно- числом жество, называются его.... элементами

С множеством можно производить различные

операции:вычитание и.... объединение, пересечение