§ 2. Развитие понятия натурального числа

Рассматривая вопрос формирования понятия натураль­ного числа у детей, нужно иметь четкое представление о раз­витии этого понятия в историческом аспекте — филогенезе. Изучение истории математики, в частности периода зарож­дения математики, дает возможность понять основные зако­номерности возникновения первых математических поня­тий («множество», «число», «величина», «арифметическое действие», «система счисления» и др.) и использовать эти за­кономерности с учетом передового педагогического опыта и современных исследований по разным проблемам обучения детей математике.

21

Как показывают научные данные по истории математи­ки, понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практиче­ской деятельностью возникла потребность как-то количест­венно оценивать совокупности. Сначала количество эле­ментов в множествах не отделялось от самих множеств, вос­принималось и удерживалось в представлении человека со всеми качествами, пространственными и количественными признаками. Человек не только оценивал совокупность по отношению к ее целостности (все или не все предметы есть), но и мог сказать, каких именно предметов не хватает. Часто совокупность удерживалась в представлении именно пото­му, что отдельные предметы четко отличались по своим при­знакам.

Итак, на этой стадии развития понятие числа представля­ло собой отдельные числа-свойства и числа-качества конк­ретных совокупностей предметов. Сейчас уже нет народов, счет которых остановился бы на первой стадии — чи­сел-свойств.

С развитием социально-экономической жизни общества человеку приходилось не только воспринимать готовые сово­купности, но и создавать совокупности определенного коли­чества. Для этого предметы определенной совокупности со­поставлялись по одному непосредственно с предметами дру­гой совокупности или с помощью некоторого эталона (зарубки, узелки, части тела человека и др.) Потом с помощью такого же сопоставления создавалась новая совокупность. Так, практически, человек овладевал операцией установления равенства, взаимно-однозначного соответствия.

Существенным в этом процессе является то, что разные величины приводятся в соответствии с одним стандартным множеством, например с определенным количеством частей тела человека. Это и было необходимой предпосылкой пере­хода к счету. Однако число как общее свойство равночислен­ных множеств еще не воспринималось. Человек не называл числю, а говорил: столько, сколько пальцев на руке и т. д.

Этот период в истории развития натурального числа называ­ется стадией счета на пальцах — ручного счета.

На этой стадии счет обычно начинали с мизинца левой руки, перебирали все пальцы, потом переходили к запястью, локтю, плечу и т. д. до мизинца правой руки, после чего, если совокупность не исчерпывалась, шли в обратном порядке. У островитян Торресового пролива на человеческом теле можно было осуществить счет до 33. Если совокупность име­ла больше 33 элементов, то использовали палочки. Именно в этом случае, когда исчерпывалась возможность использова­ния частей тела, они начинали пользоваться палочками (причем все палочки приблизительно одинаковые). Это дает нам ключ к пониманию начального назначения такой «жи­вой шкалы». Очевидно, она сначала была нужна не для инди­видуализации чисел, выделения каждого отдельного числа, а лишь для сравнения, установления взаимно-однозначного соответствия между предметами обеих совокупностей.

Для проведения арифметических операций человек ис­пользовал камешки или зерна маиса. Число воспринима­лось как то общее, что имеют между собой равночисленные совокупности. Несмотря на необычную примитивность этого способа счета, он сыграл исключительную роль в раз­витии понятия числа. Существенной чертой этого способа является то, что все пересчитываемые множества отобража­ются с помощью одной системы, приведенной с ними в со­ответствие.

Выдающийся русский ученый и путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846—1888) так описывает папуа­сов — жителей Новой Гвинеи.

Любимый способ счета папуаса состоял в том, что он за­гибал один за одним пальцы руки, при этом произнося определенный звук, например «бе, бе, бе...». Досчитав до пяти, он говорил «ибон-бе» (рука), потом загибал пальцы другой руки, снова повторял «бе, бе, бе...», пока не доходил до «ибон-али» (две руки). Тогда он шел дальше, пока не до­ходил до «самба-али» (две ноги). Если нужно было считать дальше, папуас пользовался пальцами рук и ног кого-ни­будь другого.

В гроцессе развития общества все больше и больше сово­купностей приходилось пересчитывать, простое установле­ние равночисленности и счета на пальцах уже не могло удов­летворять новых потребностей общества. Но ограничение ряда чисел не давало возможности вести счет значительно больших совокупностей.

Следующий этап развития счета и понятия натурального числа связан с зарождением системы счисления, которая опирается на группировку предметов при счете. Новую сис­тему счета можно назвать групповой, или счетом с помощью чисел-совокупностей. Идея считать группы была подсказана самой жизнью: некоторые предметы всегда встречаются на практике постоянными группами (парами, тройками, де­сятками, пятерками).

У туземцев Флориды «на-куа» означает 10 яиц, «на-ба-нара» — 10 корзин с едой, но отдельно «на», которому соот­ветствовало бы число 10, не используется. На одном из диа­лектов индейцев западной части Канады слово «тха» озна­чает три вещи, «тхе» — три раза, «тха-тоэн» — в трех местах и др. Но слова, которое обозначало бы абстрактное число 3, там нет. Наличие в определенных совокупностях именно этой части показывает, что люди уже начинают примечать и отображать в своем языке группы, имеющие общие свойст­ва. На этой стадии развития счета не каждой группе приписывается число, а только те группы являются числа­ми-совокупностями, которые часто встречаются в хозяйст­венной или другой деятельности племени.

Числа-совокупности стали прообразами наших узловых чисел. Эту стадию развития числовых представлений пере­жило все человечество. Во всех языках, в том числе и славян­ском, есть такие грамматические формы, как единичная, двойственная и множественная. Слово, которое обозначает количество, имеет различное значение в зависимости от того, идет ли речь об одном, двух или большем количестве предметов. В некоторых языках есть особая форма тройст­венности. Эти речевые формы — пережитки той отдаленной эпохи развития, когда человечеством были освоены только числа «один», «два» и «три».

В процессе обмена одна из групп предметов становится мерой для других, своеобразным эталоном. С этой группой начинают сравниваться и другие. Выделение группы, кото­рая использовалась для сравнения других, постепенно при­вело к тому, что позднее начала осознаваться количествен­ная сторона этой группы. Количественная характеристика группы предметов постепенно приобретает самостоятельное значение. Так возникло понятие числа и его названия, т. е. понятие о конкретных числах. Эти числа использовались прежде всего для практических целей людей — счета скота, шкур и др. Постепенно числа начали использоваться для пе­ресчитывания элементов конкретных множеств. Так, напри­мер, возникло слово-число «сорок». В русских народных ле­гендах ему принадлежит особенная роль. Корень слова «со­рок», или «сорочок», такой же, что и в слове «сорочка». На шубу шло 40 штук соболей. Известно, что соболиные шкуры играли роль единицы ценности. Сорок, или «соро­чок», соболей составляли целую шубу и также были едини­цей ценности.

Первые числа были своеобразными «островами», опреде­ленными ориентирами в счете. Счет осуществлялся пятерка­ми, десятками, дюжинами некоторых предметов, т. е. чис­ла-совокупности были узловыми числами, это название за­крепилось в арифметике. Узловые числа — это числа, которые имеют индивидуальные, не раскладывающиеся на составные числа названия. Остальные числа называют алго-рифмическими. Они возникли намного позже и совершенно по-другому. Алгорифмические числа появились в результате операций с узловыми числами. Это своеобразные соедини­тельные нити между узловыми числами.

Во многих языках в названиях алгорифмических чисел используются специальные слова-классификаторы для ха­рактеристики определенного способа действий с конкрет­ным множеством. Так, в речи индейцев Северной Америки, а также племен Британской Колумбии выкладывание пер­вых двух десятков предметов не сопровождается этими сло­вами-классификаторами. Счет последующих единиц сло­весно оформляется как результат действия. Например, число 26 обозначается так: «на дважды десять я кладу еще шесть». Слова-классификаторы не сопровождают чисел, кратных десяти. Таким образом, эти термины существуют лишь для того, чтобы размещать по разрядам единицы, которые вдут за десятками, но не сами десятки.

Операции с числами сначала были не арифметическими, а двигательными. Следы этого сохранились во многих языках, в том числе и русском. Так, числа от одиннадцати до девятнад­цати произносятся как соответствующее число единиц, поло­женных на десять: один на дцать, пять на дцать и т. д. В этом случае частицу «на» следует понимать именно как «положен­ное на». Позднее возникли арифметические операции.

Постепенно определился последовательный ряд нату­ральных чисел. Основную роль в создании алгорифмиче-скихчисел играла операция сложения (прибавления), хотя иногда использовалось и вычитание, еще реже умноже­ние. Особенно это прослеживается в римской нумерации: VI = 5 + 1;ХС= 100 — 10 и т. д. Образование алгоритмиче­ских чисел на основе использования арифметических опе­раций нашло отражение в названиях некоторых чисел в украинском, белорусском, французском и других языках.

Однако числовой ряд на этой стадии еще не был однород­ным и бесконечным. Долгое время он был ограниченным (конечным). Последними числами в ряду были и 3, и 7, и 12, и 40, и др. Наибольшее освоенное число натурального ряда, которое граничило с бесконечностью, часто приобретало особый ореол необыкновенного и, очевидно, было основой для возникновения запретов, связанных с этими числами. (Некоторые из этих поверий сохранились до настоящего времени.) Такими числами были: 7,13, 40 и др.

Число 40 в легендах многих восточных народов играет особую роль. Выражение «сорок сороков», часто используе­мое в русском языке, является обозначением очень большо­го, бесконечно большого числа.

Что касается счета сороками, то есть и еще одно предпо­ложение о том, что это исходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы считали большим пальцем по двум су­ставам остальных четырех пальцев, таким образом досчиты­вая до сорока. Использование третьего сустава в этом про­цессе считалось неудобным.

Постепенно узловые и алгорифмические числа заполняли ряд, который является бесконечным. Натуральных чисел бес­конечно много, среди них нет наибольшего. Какое бы боль­шое число мы не взяли, если прибавим к нему единицу, то по­лучим еще большее число. Эта бесконечность числового ряда создает значительные трудности при логическом осмыслении арифметики.

Блок самопроверки

Понятие натурального ... возникло на заре числа развития человеческого общества. Сначала человек научился отделять ... как основное количество качество ... от других качеств (простран- множества ственных и количественных).

На этой стадии развития в понятии ...от- числа ражались свойства,... готовых (стандарт- качества ных) множеств.

В практической деятельности человеку приходилось сравнивать множества, уста- навливать взаимно-... соответствие, т. е. однозначное .... При этом широко использовались части считать собственного тела, пальцы рук, отсюда и название — ... счет. ручной

Числа-совокупности были прообразами ... натуральных чисел. Первые натуральные числа были

«островками» и назывались ... числами. ... узловыми, Алгорифмические числа появились как результат операций с узловыми числами.

Постепенно определился последовательный

ряд... чисел — натуральный ряд. натуральных

С помощью чисел натурального ... человек ряда

решает две основные определение ...ко- задачи, численности

нечных ... и упорядочивание ... конечного множеств, элементов

множества.

Отсюда и две формы количественные и числительных порядковые числительные.