12.3. Модели со случайным спросом

Фактически в системах снабжения действует ряд факторов, искажающих классическую модель. Один из них - наличие некоторого времени между моментом заказа партии и ее прибытием на склад. Оно вынуждает прибегать к введению поправок на средний ожидаемый сбыт за время доставки партии. Другой фактор - случайные колебания самого сбыта. Они могут привести к непредвиденному отсутствию запасов в нужный момент, если при управлении точно следовать классической модели. Для учета этого фактора в системе надо знать кривую распределения вероятностей спроса.

С помощью кривых распределения вероятностей можно также решать задачу о получении минимальных издержек. Мы рассмотрим одну из таких задач, решение которой сравнительно несложно.

Например, магазин закупает ежедневно на базе партию скоропортящихся продуктов. От продажи каждого ящика он получает доход в 2 ед. Но если за сутки этот ящик не будет продан, он на следующий день сдается на базу по сниженной цене, причем магазин терпит убыток в 1 ден. ед.

Как подсчитать, сколько ящиков в день магазину целесообразно закупать?

Для решения этой задачи нужно иметь данные о спросе. Допустим, что путем наблюдения в течении 50 дней удалось установить, что менее 81 и более 100 ящиков в день магазин не продавал ни разу. Причем 81 ящик был продан за срок 1 раз, 82 - 2 раза, 83 - 1 раз, 84 - 3 раза и т.д.

Результаты наблюдений сведены в таблице 1. В первом ее столбце помещено число проданных за день ящиков, во втором - число дней, когда было продано столько ящиков, сколько указано в первом столбце, в третьем - так называемая наблюденная частота продажи (она получается путем деления цифр второго столбца на общее число наблюдений - 50 и умножения на 100, чтобы выразить частоту в процентах), в четвертом - накопленная частота, составляющая сумму текущей и всех расположенных выше наблюдаемых частот.

Таблица 1

Число проданных ящиков К	Число дней продажи К ящиков	Наблюденная частота продажи К ящиков, %	Накопленная частота продажи К ящиков Р(К), %
81	1	2	2
82	2	4	6
83	1	2	8
84	3	6	14
85	2	4	18
86	3	6	24
87	2	4	28
88	4	8	36
89	3	6	42
90	4	8	50
91	5	10	60
92	5	10	70
93	4	8	78
94	2	4	82
95	3	6	88
96	2	4	92
97	2	4	96
98	1	2	98
99	0	0	98
100	1	2	100
Сумма	50	100

При достаточно большом числе наблюдений накопленную частоту можно принять равной вероятности, т.е. вероятно, что будет продано не больше ящиков, чем то число, для которого вычислена накопленная частота. График, изображающий значения теоретической накопленной частоты в зависимости от числа ящиков, называется кривой распределения вероятностей. Он имеет вид, показанный на рис. 4.

Рис. 4.

Обозначим вероятность продажи не более чем К ящиков через Р(К). Будем измерять ее в долях единицы.

Пусть магазин закупил К-1 ящиков. Что будет, если он закупит К ящиков, т.е. на один больше? Он будет иметь доход в 2 ед. с вероятность 1-Р(К-1) (это вероятность спроса не менее чем К ящиков) и убыток в 1 ед. с вероятностью Р(К-1).

Дополнительный общий доход равен:

2[1-P(K-1)]-P(K-1)=2-3P(K-1)

(16)

Если этот доход положителен, дополнительный ящик покупать выгодно. Это выражается неравенством:

2-3P(K-1)>0

(17)

или

P(K-1)<=0,667

(18)

Поэтому надо взять такое К, при котором соблюдается неравенство:

P(K-1)<0,667<P(K)

(19)

Из табл. 1 видно, что оптимальным значением будет К=92.

Выбранное К не гарантирует, конечно, минимальных расходов в любой день, но с высокой вероятностью обеспечивает наименьшие затраты в среднем за достаточно большой промежуток времени.

Опишем некоторые разновидности моделей управления запасами с неизвестным спросом.

Модель "политика постоянного уровня запасов". В этой системе издержки управления запасами, на первый взгляд, не учитываются и размер заказа не фиксируется. Через некоторый постоянный отрезок времени Т₀ производится проверка состояния запасов на складе (при заданном Т₀ наиболее просто автоматизировать управление).

Для системы установлен максимальный уровень М запасов, и после проверки дается заказ, равный разности максимального и фактического уровня.

Если бы время доставки товаров на склад было равным нулю, то изменение уровня происходило бы так, как показано на рис. 5.

Рис. 5.

Но так как на самом деле время доставки не равно нулю (за это время тоже существует сбыт), максимальный уровень достигаться не будет - см. рис. 6.

Рис. 6.

Модель с двумя уровнями. В этой системе кроме верхнего устанавливается еще нижний предел уровня запаса Р.

Если установленное проверкой количество запасов на складе оказалось больше Р, заказ не делается: если оно меньше Р, то делается заказ, равный разности между максимальным и фактическим уровнем.

Назовем некоторые другие модели:

• с двумя складами, второй из которых вступает в действие, когда первый склад израсходует свой запас;

• с несколькими точками заказа - эта модель применяется в тех случаях, когда имеют место значительные колебания спроса за время доставки, а учет запасов ведется непрерывно;

• со снижением цен;

• многопродуктовая модель.

Для решения сложных задач применяют методы математического программирования - линейного, динамического, а для расчетов используются вычислительные машины.