Тема 4. Классификация задач математического программирования и область их эффективного применения в экономике

Характерной чертой большинства экономических задач является множественность решений, т.е. множественность возможных вариантов.

Существует два принципа выбора: волевой и критериальный. Волевой выбор при современных масштабах производства, усложненных экономических связях между различными отраслями народного хозяйства, сложной технологии часто приводит к огромным потерям в экономике. Критериальный выбор заключается в том, что принимается некоторый критерий и сравниваются возможные варианты по этому критерию. Применительно к хозяйственному объекту в качестве критерия могут выступать ресурсов, или минимум затрат на ее производство, или максимум прибыли от реализации. Принимается наилучший вариант с точки зрения выбранного критерия. Наилучший по латыни optimus, отсюда наилучшее решение называется оптимальным, а задача принятия оптимального решения - задачей оптимизации.

4.1. Математическая постановка и структура задачи оптимизации

Математической постановке задачи оптимизации предшествует ее содержательная постановка. Задача формулируется заказчиком, т.е. лицом, заинтересованном в ее решении. Выделяется цель задачи, рассматриваются условия ее решения (исходные данные), требования, предъявляемые к результатам. Математические методы по своей природе неприменимы к содержательной формулировке задачи, поэтому следующий этап - математическая постановка задачи, в ходе которой строится ее математическая модель.

Математическая модель предназначается для описания содержательной постановки задачи с помощью математических символов.

При рассмотрении ЭММ оперируют следующими понятиями: критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнения связи, решение модели.

Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции.

Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, и ее значение определяется значениями этих величин. Не следует смешивать критерий оптимальности и целевую функцию. Так, например, критерий прибыли и критерий стоимости произведенной продукции могут описываться одной и той же целевой функцией:

,

где

- номенклатура производимой продукции;

x_j - объем выпуска j-й номенклатуры;

c_j - прибыль от выпуска единицы j-й номенклатуры или стоимость единицы j-й номенклатуры в зависимости от смысла критерия оптимальности.

Система ограничений определяет пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Уравнения связи являются математической формализацией системы ограничений. Между понятиями "система ограничений" и "уравнения связи" существует точно такая же аналогия, как и между понятиями "критерий оптимальности" и "целевая функция": различные по смыслу ограничения могут описываться одинаковыми уравнениями связи, а одно и то же ограничение в разных моделях может записываться различными уравнениями связи.

Таким образом, именно критерий оптимальности и система ограничений в первую очередь определяют концепцию построения будущей математической модели, т.е. концептуальную модель, а их формализация, т.е. целевая функция и уравнения связи, представляет собой математическую модель.

Решением математической модели называется такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называются структурно допустимыми. Модели, имеющие много решений, называются вариантными в отличие от безвариантных, имеющих одно решение. Среди структурно допустимых решений вариантной модели, как правило, находится одно решение, при котором целевая функция в зависимости от смысла модели имеет наибольшее или наименьшее значение. Такое решение, как и соответствующее значение целевой функции, называется оптимальным (в частности, наибольшим или наименьшим).

В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом: найти максимальное (минимальное) значение целевой функции:

(2)

(1)

при ограничениях в виде равенств или неравенств

(2)

и условий неотрицательности переменных

.

(3)

Предполагается, что функция _i и f известны, а b_i - заданные постоянные. В каждом из ограничений (2) сохраняется только одни знак , = или . Суть такой постановки задачи заключается в следующем: необходимо определить такие неотрицательные значения x₁, x₂, ..., x_n, которые удовлетворяли бы ограничениям (2) и при этом придавали бы целевой функции (1) искомое оптимальное значение.

Комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничительных условиях называется математическим программированием.

Математическое программирование - действенный инструмент эффективного решения задач управления. Название указанного комплекса методов обусловлено тем, что в процессе их использования получаются оптимальные решения, но для выхода на такое решение необходимо выполнить ряд действий по определенной программе. Задачи математического программирования чрезвычайно разнообразны. Они могут встречаться почти в любой области человеческой деятельности: в экономике, технике, в научных исследованиях.