7.3.Оптимизация исходного базисного плана перевозок. Метод потенциалов

Построенный одним из описанных выше методов исходный план можно довести до оптимального с помощью симплекс-метода. В силу особенностей модели транспортной задачи (ограничения имеют вид равенств, каждая неизвестная входит только в два уравнения, коэффициенты при неизвестных - единицы) процесс ее решения симплекс-методом является громоздким. Поэтому для нахождения оптимального плана транспортной задачи созданы специальные методы, самым распространенным из которых считается метод потенциалов.

Какой же план поставок является оптимальным для транспортной задачи?

Оптимальным планом поставок {х_ij} называется такой план поставок, который:

1) сбалансирован с имеющимися запасами грузов у каждого поставщика и с заданными потребностями каждого потребителя;

2) имеет наименьшие транспортные расходы на доставку всех грузов по сравнению с другими планами поставок.

Условия сбалансированности (1) плана поставок, представленного в табличной форме, проверяются просто, а именно:

• план полностью сбалансирован, если сумма поставок по каждой строке таблицы равна соответствующему запасу а_i, а сумма поставок по каждому столбцу совпадает с соответствующей потребностью b_j

Условие (2) проверяется с помощью следующего критерия оптимальности:

• допустимый (т.е. сбалансированный) план поставок {х_ij} оптимален тогда и только тогда, когда существуют такие числа u_i и v_j, которые удовлетворяют условиям:

vj - ui = cij, если хij > 0	(5)
vj - ui < cij, если хij = 0	(6)

Числа u_i, v_j называются потенциалами поставщиков и потребителей, а метод поиска оптимально плана поставок, в котором используется сформулированный критерий оптимальности, называется методом потенциалов.

По методу потенциалов, исходя из некоторого начального опорного плана поставок необходимо построить конечную последовательность планов, сходящуюся к оптимальному плану.

Основные процедуры метода потенциалов

При построении опорного плана, например методом северо-западного угла, никак не учитывалась экономическая целесообразность намеченных поставок, поэтому такой план с точки зрения транспортных расходов на его реализацию может быть весьма далек от оптимального. Как правило, его можно значительно улучшить. Оптимизацию начального опорного плана следует осуществить методом потенциалов. На каждой итерации этого метода выполняются следующие процедуры:

1) вычисление потенциалов, согласованных с найденным опорным планом;

2) проверка плана на оптимальность с помощью потенциалов;

3) улучшение плана в случае его неоптимальности.

Рассмотрим алгоритм, реализующий этот метод.

Алгоритм метода потенциалов

Шаг 1. Вычисление потенциалов, согласованных с опорным планом поставок

Потенциалы u_i поставщиков и v_j потребителей находятся из уравнений вида .

Такие уравнения составляются для всех занятых поставками клеток таблицы, т.е. общее число уравнений в системе равно m+n-1, количество же неизвестных в системе равно m+n, т.е. на единицу больше числа уравнений.

Такая система имеет множество решений, отличающихся друг от друга на некоторую константу.

Для оптимизации годится любое решение. Для того, чтобы найти какую-нибудь систему потенциалов, согласованную с планом, достаточно произвольным образом зафиксировать значение одного из потенциалов. Обычно задают u₁ и из системы уравнений однозначно определяют все остальные потенциалы. Чтобы значения v_j и u_i были положительными, рекомендуется брать u_i > (c_ij^max - c_ij^min).

Значения потенциалов записывают справа и снизу таблицы против соответствующих строк и столбцов. Или добавляют к таблице столбец справа для потенциалов u_i поставщиков и строку снизу для потенциалов v_j потребителей:

При практическом определении потенциалов необязательно выписывать на каждой итерации соответствующую систему уравнений. Можно находить потенциалы непосредственно по таблице, не выписывая в явном виде систему.

Шаг 2. Проверка плана на оптимальность

Пусть определены потенциалы, согласованные с некоторым опорным планом. Они удовлетворяют условию (5) критерия оптимальности плана поставок в Т-задаче. Следовательно, для того чтобы узнать, оптимален ли анализируемый план или нет, нужно проверить, удовлетворяют ли эти потенциалы условию (6). Это равносильно проверке условий v_j - u_i < c_ij для свободных клеток.

Обозначим _ij = v_j - c_ij - u_i. Тогда критерий оптимальности опорного плана поставок может быть сформулирован так:

• опорный план поставок оптимален тогда и только тогда, когда потенциалы, согласованные с ним, удовлетворяют условию _ij0, где (i, j) - свободные клетки таблицы.

Отсюда вытекает, что если для некоторой свободной клетки (i₀, j₀) величина i₀j₀ > 0, то план перевозок неоптимален и его можно улучшить. По своему экономическому смыслу величина _ij характеризует то изменение в суммарных транспортных расходах, которое произойдет из-за осуществления единичной поставки i-м поставщиком j-му потребителю. Если _ij > 0, то единичная поставка приведет к экономии транспортных расходов, если же _ij < 0 - к увеличению их. Следовательно, если среди свободных направлений поставок нет экономящих транспортные расходы направлений, то полученный план оптимален.

Проверяем полученный план на оптимальность по критерию оптимальности плана транспортной задачи. Если для каждой незаполненной клетки выполняется условие _ij 0, то план является оптимальным. В противном случае полученный план не оптимальный, и необходимо переходить к новому базисному плану путем перемещения перевозки в клетку, отвечающей условию max [_ij > 0]. Если таких клеток более одной, то договоримся перемещать перевозку в первую по порядку. Выбранная клетка помечается в таблице. Переменная, стоящая в этой клетке, вводится в базис.

Шаг 3. Улучшение плана поставок

3.1. Среди положительных величин _ij выбирается максимальная. Выбранную клетку (i, j) помечает знаком “” в центре клетки. Эта клетка в следующей таблице будет занята поставкой. Одновременно с занятием новой клетки происходит освобождение одной из занятых прежним планом клеток.

3.2. Для правильного перемещения перевозок, чтобы не нарушить ограничений, строится цикл, т.е. замкнутый путь, соединяющий выбранную незаполненную клетку с ней же самой и проходящий через заполненные клетки. Цикл строится следующим образом. Вычеркиваются все строки и столбцы, содержащие ровно одну заполненную клетку (выбранная клетка при этом считается заполненной). Все остальные заполненные клетки составляют цикл и лежат в его углах.

Циклом называется набор клеток таблицы, которые могут быть соединены замкнутой ломаной линией, удовлетворяющей следующим двум условиям:

1) любое звено ломаной находится либо в строке, либо в столбце таблицы;

2) никакие два ее звена не могут находится в одной строке или в одном столбце.

Замечание. После перевода незаполненной клетки в число заполненных количество заполненных клеток становится равным m+n. Для такого количества клеток всегда можно построить цикл, и он будет единственным. Направление построения цикла (по часовой стрелке или против) несущественно.

3.3. В угловой каждой клетке цикла, начиная с незаполненной, проставляются поочередно знаки “+” и “-”. В клетках со знаком “-” выбирается минимальная величина, которую обозначим через .

Переходим к новому плану поставок {х_ij^нов} путем корректировки старого плана по следующим формулам:

(7)

Корректировку плана лучше начинать с перераспределения поставок в клетках цикла, добавляя к поставкам в плюсовых клетках цикла величину Q и вычитая ее из поставок в минусовых клетках.

При этом рекомендуется обходить клетки цикла последовательно в одном направлении, начиная с новой занимаемой клетки, помеченной знаком “”.

Следует отметить, что если минимальная поставка находится одновременно в нескольких минусовых клетках цикла, то при переходе к новому опорному плану освобождается только одна из них, а остальные остаются занятыми нулевыми поставками.

На этом полностью заканчивается одна итерация метода оптимизации. Далее процесс продолжается аналогичным способом.

Шаг 1. Находим потенциалы, согласованные с новым планом.

Шаг 2. Проверяем новый план на оптимальность.

Если все _ij  0, получен оптимальный план.

Если имеются _ij > 0, идем на шаг 3. и т.д.