- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Экономико-математические методы и модели и их классификация
- •1.1. Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
- •1.2.Этапы экономико-математического моделирования, классификация экономико-математических моделей и методов
- •Примеры описательных моделей
- •Тема 2. Балансовый метод в экономике
- •2.1. Общие понятия балансового метода, принципиальная схема межпродуктового баланса
- •2.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •2.3. Плановые расчеты на основе матричных моделей систем производства и распределения продукции
- •2.3.1. Методика расчета планового баланса по заданным валовым выпускам продукции Xiпл
- •2.3.2. Коэффициенты полных материальных затрат и методы их расчета
- •2.3.3. Методика расчета планового баланса по заданным плановым уровням конечной продукции Yiпл
- •2.4. Пример расчета планового баланса для трехотраслевой экономической системы
- •2.5. Использование балансового метода на предприятии
- •Тема 3. Математические методы сетевого планирования и управления
- •3.1. Основные понятия сетевой модели
- •Распределение (расслоение) вершин сетевого графика по рангам
- •3.2. Анализ сетевого графика и расчет его временных характеристик
- •3.2.1. Расчет временных характеристик событий
- •3.2.2. Расчет временных характеристик работ
- •3.3. Сетевое планирование в условиях неопределенности
- •Вероятностные оценки продолжительности работ
- •3.4. Оптимизация сетевой модели
- •Краткая характеристика метода оптимизации
- •Тема 4. Классификация задач математического программирования и область их эффективного применения в экономике
- •4.1. Математическая постановка и структура задачи оптимизации
- •4.2. Краткая классификация методов математического программирования
- •Тема 5. Линейное программирование
- •5.1. Предмет линейного программирования
- •5.2. Построение оптимизационных моделей для решения экономических задач
- •5.3. Общая задача линейного программирования. Основные определения
- •5.4. Графический метод решения задач линейного программирования
- •I этап. Графическая интерпретация области допустимых решений
- •II этап. Графическая интерпретация целевой функции
- •III этап. Нахождение оптимального решения
- •5.5. Примеры решения задач линейного программирования графическим методом
- •5.6. Понятие о симплекс-методе озлп
- •5.7. Каноническая форма задач линейного программирования
- •5.8. Базисные решения задачи линейного программирования
- •5.9. Алгоритм симплекс-метода озлп
- •5.10.Примеры решения задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 6. Двойственность в линейном программировании
- •6.1.Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства
- •6.2. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)
- •6.3.Экономическая интерпретация двойственной задачи Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов.
- •6.4.Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений
- •Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов
- •Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал
- •Свойство 3. Оценки - инструмент определения эффективности отдельных вариантов (технологических способов) с позиций общего оптимума
- •Тема 7. Транспортная задача линейного программирования
- •7.1. Постановка транспортной задачи
- •Классическая постановка транспортной задачи
- •Модели транспортной задачи
- •7.2.Методы построения исходного плана
- •Метод северо-западного угла
- •Метод минимального элемента
- •7.3.Оптимизация исходного базисного плана перевозок. Метод потенциалов
- •Основные процедуры метода потенциалов
- •Алгоритм метода потенциалов
- •7.4. Пример решения транспортной задачи
- •7.5. Применение модели транспортной задачи при решении различных экономических задач
- •Тема 8. Модели и методы дискретного программирования
- •8.1. Постановка задачи дискретного программирования
- •Задача о назначении (проблема выбора, задача о женихах и невестах)
- •8.2.Краткая классификация математических моделей дискретного программирования
- •8.3.Методы решения задач дискретного программирования
- •8.3.1. Методы отсечения для решения полностью целочисленной задачи линейного программирования
- •8.3.2.Сущность метода ветвей и границ
- •Тема 9. Модели и методы динамического программирования
- •9.1. Моделирование процессов наилучшего распределения ресурсов методом динамического программирования
- •Итоговая таблица условно-оптимальных решений
- •Графики предельной и средней эффективности
- •Тема 10. О других моделях и методах математического программирования
- •10.1.Нелинейное программирование
- •10.2.Стохастическое программирование
- •Тема 11. Модели конфликтных ситуаций в теории игр
- •11.1.Основные понятия теории игр
- •11.2.Решение игры в чистых стратегиях
- •11.3.Решение игры без седловой точки
- •Графический способ решения матричной игры
- •11.4. Пример решения экономической задачи методами теории игр
- •Тема 12. Модели управления запасами
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Статические модели управления запасами Уилсона
- •12.2.1. Статическая модель без дефицита
- •12.2.2. Статическая модель с дефицитом
- •12.3. Модели со случайным спросом
- •Тема 13. Модели массового обслуживания
- •Литература
Вероятностные оценки продолжительности работ
|
Работа (i, j) |
Продолжительность |
Ожидаемая продолжительность tож(i, j) |
Дисперсия S2(i, j) |
|
|
t min (i, j) |
t max (i, j) |
|||
|
(1, 2) |
5 |
7,5 |
6 |
1,25 |
|
(2, 3) |
4 |
6,5 |
5 |
1,25 |
|
(2, 4) |
1 |
6 |
3 |
5,00 |
|
(2, 5) |
3 |
5,5 |
4 |
1,25 |
|
(3, 7) |
0,5 |
3,5 |
1 |
1,80 |
|
(4, 5) |
5 |
7,5 |
6 |
1,25 |
|
(4, 6) |
3 |
5,5 |
4 |
1,25 |
|
(4, 9) |
5 |
10 |
7 |
5,00 |
|
(5, 8) |
2 |
4,5 |
3 |
1,25 |
|
(5, 10) |
7 |
12 |
9 |
5,00 |
|
(6, 9) |
0 |
0 |
0 |
0,00 |
|
(6, 11) |
3 |
8 |
5 |
5,00 |
|
(8, 10) |
2 |
7 |
4 |
5,00 |
|
(9, 10) |
1 |
6 |
3 |
5,00 |
|
(10, 11) |
8 |
10,5 |
9 |
1,25 |
Три первые графы таблицы содержат исходные данные, а две последние графы - результаты расчетов по формулам (12) и (14). Так, например:
|
tож(1, 2) = (35 + 7,52) : 5 = 6, tож(2, 3) = (34 + 6,52) : 5 = 5 и т.д. S2 (1, 2) = (7,5 - 5)2 : 5 = 1,25, S2 (2, 3) = (6,5 - 4)2 : 5 = 1,25 и т.д. |
|
Таким образом, не только структура СМ (см. рис. 1), но и числовые значения продолжительности ожидаемого выполнения работ совпали с рассчитанными в предыдущем примере оценками (§3.2.). Это избавляет нас от необходимости подробного комментария хода расчета характеристик модели. Напомним, что критическим является путь: Lкр=(1, 2, 4, 5, 10, 11), а его продолжительность равна tкр=tож=33 дня.
Дисперсия критического пути составляет:
|
S2(Lкр) = S2(1, 2) + S2(2, 4) + S2(4, 5) + S2(5, 10) + S2(10, 11) = = 1,25 + 5,00 + 1,25 + 5,00 + 1,25 = 13,75. |
|
Для использования формулы (16) необходимо иметь среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из значения дисперсии квадратного корня, т.е. S(Lкр)=3,7. Тогда имеем:
|
Р(tкрр<35)=0,5+0,5Ф((35-33):3,7)=0,5+0,5Ф(0,54)=0,5+0,50,38=0,69, Р(tкрр<30)=0,5+0,5Ф((30-33):3,7)=0,5-0,5Ф(0,81)=0,5-0,50,5=0,210. |
Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 35 дней, составляет примерно 69%, в то время как вероятность его выполнения за 30 дней - всего 21%.
Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл. 2 найдем значение аргумента "Z", которое соответствует заданной вероятности 95%. В графе Ф(z) наиболее близкое значение (0,9545*100%) к ней соответствует z=1,9. В этой связи в формуле (17) будем использовать именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:
|
T = tож(Lкр) + ZSкр = 33 + 1,93,7 = 40 дн. |
|
Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности р=0,95 составляет 40 дней.