8.3.2.Сущность метода ветвей и границ

Метод ветвей и границ относится к группе комбинаторных методов. Комбинаторные методы исходят из конечности числа допустимых планов задачи и заменяют полный перебор всех планов их частичным направленным перебором. Метод ветвей и границ является наиболее универсальным. Он используется для решения и нелинейных задач математического программирования. Для выявления сущности метода воспользуемся известной задачей “математической смекалки” об отыскании фальшивой монеты.

Пусть в мешке с монетами одинакового достоинства имеется одна фальшивая, отличающаяся большим весом, которую нужно отыскать посредством взвешивания на рычажных весах без гирь. Поступим так. Разделим содержимое мешка на две равные по количеству монет части. В случае, если число монет n нечетное, разделим n-1 монет на две равные части. Положим на чашки весов равные по количеству монет части. Если чашки весов уравновесятся, то отложенная монета фальшивая; в противном случае она находится в более тяжелой части, с которой поступим аналогичным образом, и т.д., пока не обнаружим фальшивую монету. Здесь деление мешка есть процесс ветвления множества на подмножества. Взвешивание каждой части соответствует оценке целевой функции на подмножествах.

Рассмотрим такой пример. Запишем задачу

	(27)
	(28)
	(29)
	(30)

Решим задачу методом ветвей и границ.

При использовании метода ветвей и границ решение, как и в методе отсечения Гомори, начинается с нахождения оптимального решения задачи без ограничений целочисленности. Затем, базируясь на модели исходной задачи и полученном оптимальном решении, строится несколько связанных, но различных задач линейного программирования. Таким образом, метод ветвей и границ основан на решении некоторого множества задач линейного программирования.

Задача (27)-(29) имеет следующий оптимальный план: Значение целевой функции f_min=-16. Базируясь на полученном оптимальном плане, найдем оптимальный целочисленный план задачи (27)-(30) с помощью метода ветвей и границ.

Обратимся к рис. 3

Рис. 3.

Как уже отмечалось, целевая функция f задачи (27)-(29) достигает своего минимального значения (нижней границы) в точке многоугольника АВСDE (f_min=-16). Ясно, что не существует такой точки с целочисленными координатами, где достигается полученное значение целевой функции.

Разобьем множество допустимых решений задачи на две части (рис. 3). Первая часть содержит те допустимые планы, у которых а вторая - допустимые планы с . При таком разбиении не теряется ни одного допустимого целочисленного плана.

Для того чтобы определить значения целевых функций для каждой части множества, необходимо решить две задачи линейного программирования.

Задача 1	Задача 2

Многоугольник AA’E представляет собой область определения задачи 1, а многоугольник B’CD - область определения задачи 2. Целевая функция задачи 1 достигает своего минимального значения (f¹_min=-15), т.е. нижней границы, в точке A’ (3, 6). Для задачи 2 минимальное значение целевой функции (f²_min=-14), т.е. нижняя граница, достигается в точке B’ (4, 6). Поскольку f¹_min<f²_max , задача (27)-(30) будет иметь следующий оптимальный план: x^*₁=3, x^*₂=6.

Вывод: суть метода ветвей и границ.

На каждом шаге алгоритма метода В и Г происходит деление ОДР задачи математического программирования на 2 подмножества и оценивается целевая функция на подмножествах.

Поиск оптимума продолжается на более перспективном подмножестве с использованием процедуры дальнейшего деления. Таким образом, полный перебор всех планов задачи заменяется их частичным направленным перебором.