Итоговая таблица условно-оптимальных решений

Капвложения	k=1		k=2			k=3			k=4
S	x1(S)	f1(S)		x2(S)	f2(S)		x3(S)	f3(S)	x4(S)	f4(S)
0	0	0		0	0		0	0	0	0
1	1	0.28		0	0.28		0	0.28	0	0.28
2	2	0.45		1	0.53		0	0.53	0	0.53
3		0.65		1	0.70		0	0.70	1	0.73
4	4	0.78			0.90			0.90	0.1	0.90
5	5	0.90		2	1.06		0	1.06		1.10

Итоговая таблица условно-оптимальных решений заполняется пошагово, изменяя .

1.1. В столбце k=1 представлены результаты решения задачи (1). Здесь f₁(S)= и х₁(S)=S, так что фактически каких-либо расчетов при решении задачи (1) делать не нужно.

1.2. При решении задачи (2) поиск условно оптимальных решений х₂(S) производится только среди целых чисел, т.е. решается следующая задача:

f2(S)=(+f1(S-x2))

Это означает, что оптимальное распределение находится среди целых чисел (с точностью до 1 млн. руб.). Если такая точность не устраивает, то следует расширить область допустимых значений для х₂, указав в интервале (0,S) все необходимые значения х₂ (с шагом 100 тыс. руб., например).

Приведем вычислительную схему для решения задачи (2):

S	x2		f1(S-x2)	+f1(S-x2)	f2(S)
0	0	0	0	0	0
1	 1	0 0.25	0.28 0	0.28 0.25	0.28 -
2	0  2	0 0.25 0.41	0.45 0.28 0	0.45 0.53 0.41	- 0.53 -
3	0  2 3	0 0.25 0.41 0.55	0.65 0.45 0.28 0	0.65 0.70 0.69 0.55	- 0.70 - -
4	0  2 3 4	0 0.25 0.41 0.55 0.65	0.78 0.65 0.45 0.28 0	0.78 0.90 0.86 0.83 0.65	- 0.90 - - -
5	0 1  3 4 5	0 0.25 0.41 0.55 0.65 0.75	0.90 0.78 0.65 0.45 0.28 0	0.90 1.03 1.06 1.00 0.93 0.75	- - 1.06 - - -

В столбце х₂ таблицы показаны возможные значения х₂. Так при S=3 возможны четыре значения х₂=0, 1, 2, 3, т.е. при распределении 3 млн. руб. между первым и вторым предприятиями возможны следующие четыре варианта (х₂, S-х₂):

1. (0, 3) - второму предприятию не давать ничего, а отдать все первому.

2. (1, 2) - второму дать 1 млн. руб., первому - 2 млн. руб.

3. (2, 1) - второму дать 2 млн. руб., первому - 1 млн. руб.

4. (3, 0) - отдать все 3 млн. руб. второму предприятию.

В столбце записываются значения функции , взятые из начальной таблицы, а в столбце f₁(S-x₂) - значения вычисленной на предыдущем шаге функции f₁(S). Эти значения берутся из итоговой таблицы, в которой должен быть заполнен столбец k=1 к моменту вычисления функции f₂(S).

Далее производятся сложение столбцов и f₁(S-x₂) и выбор максимального элемента в столбце + f₁(S-x₂) для каждого значения S.

Кружочками обведены найденные условно-оптимальные решения х₂(S). В последнем столбце приведены значения функции f₂(S), они вместе с х₂(S) записываются в итоговую таблицу в столбец k=2.

1.3. После решения задачи (2) и заполнения столбца k=2 итоговой таблицы решается задача (3) по аналогичной схеме. Изменяется “шапка“ вычислительной схемы, она при решении задачи (3) будет такой:

S

x3

f2(S-x3)

+f2(S-x3)

f3(S)=max(+f2(S-x3))

Результаты расчетов третьей задачи записаны в столбце k=3 итоговой таблицы.

1.4. Последнюю, четвертую, задачу решают аналогичным образом.

II этап. После заполнения сводной таблицы условно-оптимальных решений находится безусловное (окончательное) распределение капиталовложений между четырьмя предприятиями с помощью итоговой таблицы обратным ходом.

Вначале определяется оптимальная величина капиталовложений, выделяемых четвертому предприятию.

Она находится из последней строки таблицы и равна х₄(5)=1 млн. руб.

Вычитая из 5 млн. руб. величину х₄(5)=1 млн. руб., получим остаток, 4 млн. руб. - величину вложений для первых трех предприятий. В столбце k=3 находим х₃(4)=0, следовательно, третьему предприятию невыгодно давать капиталовложения, а все оставшиеся 4 млн. руб. следует разделить между первым и вторым предприятиями.

Переходим к столбцу k=2 и находим в нем величину х₂(4)=1 млн. руб. (остаток равен 3 млн. руб.). В столбце k=1 итоговой таблицы находим величину х₁(3)=3 млн. руб.

В результате найдено оптимальное распределение капиталовложений Х=(3, 1, 0, 1), которому соответствует наибольший ежегодный прирост прибыли по объединению, равный f₄(5), т.е. 1,1 млн. руб. Таким образом, задача решена.

Используя таблицу условно-оптимальных решений, можно исследовать вопрос об эффективности дополнительных капиталовложений выделяемых предприятиям. Для этого найдем оптимальные распределения капиталовложений при разной их величине S:

Сумма капвложений S	Распределение по предприятиям				Ежегодный прирост прибыли по объединению F(S)
	1	2	3	4
1	1	0	0	0	0.28
2	1	1	0	0	0.53
3	1	1	0	1	0.73
4	3 2	1 1	0 0	0 1	0.90
5	3	1	0	1	1.1

При распределении 4 млн. руб. между четырьмя предприятиями возможны два оптимальных решения. Оба эти распределения находятся обратным ходом из итоговой таблицы, где в столбце k=4 указаны два условно-оптимальных решения х₄(4)=0; 1. Вначале берем х₄(4)=0 и находим оптимальное распределение (3, 1, 0, 0), а затем, полагая х₄(4)=1, находим другое оптимальное распределение (2, 1, 0, 1).

Обозначим максимальную величину прибыли, получаемую в целом по объединению при оптимальном распределении между предприятиями S млн. руб.

Очевидно, что F(S)=f₄(S). Значения этой функции вычислены и представлены в итоговой таблице в последнем ее столбце. Из этого столбца видно, что приращение прибыли, получаемое от дополнительного вложения 1 млн. руб., снижается в основном с увеличением S, т.е. предельная эффективность u(S)=dF(S)/dS - функция монотонно убывающая. График функции приращения U(S)F(S)-F(S-1) показан на рисунке вместе с графиком функции средней эффективности F(S)/S (норма прибыли).