Тема 7. Транспортная задача линейного программирования

7.1. Постановка транспортной задачи

В теории линейного программирования транспортная задача занимает особое место. Возникла она первоначально как задача о перевозках, позже получила другие практические приложения. Задачи развития и размещения отдельных производств, расстановки и использования оборудования, строительства транспортных сетей и ряд других в их простейшей постановке относятся к типу транспортных.

Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям; при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Причем потребителям безразлично, из каких пунктов производства будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Так как от схемы прикрепления потребителей к поставщикам существенно зависит объем транспортной работы, возникает задача о наиболее рациональном прикреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, а затраты на транспортировку минимальны.

Классическая постановка транспортной задачи

Пусть имеется m поставщиков А₁, А₂, ..., А_i, ..., А_m однородного груза в количествах соответственно а₁, а₂, ..., а_i, ..., а_m единиц и n потребителей В_1, В₂, ..., В_j, .... В_n этого груза, потребность которых составляет соответственно b₁, b₂, ..., b_j, ..., b_n единиц.

Известны стоимость перевозок единиц груза от i-го поставщика к j-му потребителю - с_ij (i=; j=).

Требуется составить такой план перевозок груза, который обеспечит минимальные транспортные расходы.

Замечание. Перевозимый груз должен быть однородным, например, песок, уголь, лес, кирпичи, металл и т.п. Единицы измерения количества груза могут быть различными (т, м³, шт., л. и т.п.). Стоимость перевозки, как правило, измеряется в рублях. Предполагается, что стоимость перевозимого груза пропорциональна его количеству. В качестве поставщиков груза могут выступать предприятия, базы, склады, а в качестве потребителей - предприятия, магазины, строительные объекты и т.п.

Таблица 1

	b1		b2		...	bi		...	bn
а1		c11		c12	...		c1j	...		c1n
	x11		x12			x1j			x1n
a2		c21		c22	...		c2i	...		c2n
	x21		x22			x2i			x2n
...	...		...		...	...		...	...
ai		ci1		ci2	...		cij	...		cin
	xi1		xi2			xij			xin
...	...		...		...	...		...	...
am		cm1		cm2	...		cmi	...		cmn
	xm1		xm2			xmi			xmn

Прежде чем приступить к построению модели задачи, необходимо обозначить неизвестные. Исходя из условия задачи, неизвестной величиной является количество единиц груза, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.

Обозначим через х_ij (i=; j=) - количество единиц груза, перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю.

Чтобы лучше представить условие задачи, сведем исходные данные в табл. 1. Строка таблицы соответствует поставщику, а столбец - потребителю.