5.6. Понятие о симплекс-методе озлп

Графический метод, рассмотренный в §5.4 без особого труда позволяет решать задачи линейного программирования с двумя переменными. Несколько сложнее, но возможно решать этим методом задачи линейного программирования с тремя переменными. Однако графический метод непригоден для решения задач линейного программирования, у которых количество переменных n>3. Решение таких задач требует применения аналитических методов.

Рассматриваемые в курсе высшей математики классические методы нахождения экстремума функции непригодны для решения задач математического программирования и, в частности, линейного. Поэтому для решения задач линейного программирования созданы специальные методы решения, одним из которых является симплекс-метод.

Симплекс-метод не обладает той наглядностью, которая характерна для графического метода.

Известно, что оптимальные решения задачи линейного программирования связаны с угловыми точками многогранника решений. Угловых точек может быть много, если много ограничений. Количество угловых точек соответствует количеству базисных решений. Для каждого базисного решения однозначно определяется значение целевой функции. Найти оптимальное решение (оптимальный план), беспорядочно перебирая все базисные решения, в поисках такого решения, которое приносит целевой функции экстремальное значение, затруднительно.

В связи с этим необходим такой переход от одного базисного решения к другому (от одной угловой точки к другой, начиная с угловой точки, отвечающей исходному базисному решению), в результате которого новое решение приносило бы в невырожденной задаче на максимум большее значение целевой функции. Данный процесс решения задачи реализует симплекс-метод, который в нашей литературе также называется методом последовательного улучшения плана. Процесс решения задачи продолжается до получения оптимального плана либо до установления факта отсутствия решений задачи. Переход от одного базисного решения к другому называется итерацией симплекс-метода.

Критерий разрешимости задачи линейного программирования. Для того, чтобы задача линейного программирования была разрешима, т.е. имела оптимальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ограничения задачи были совместными (множество допустимых решений не пусто) и целевая функция была ограничена при поиске максимума сверху. Симплекс-метод может быть интерпретирован геометрически как движение по соседним угловым точкам многогранника решений. Точки называются соседними, если они расположены на одном ребре. Например, если исходное базисное решение (исходный базисный план) соответствует угловой точке А, то следующий базисный план, полученный в процессе решения задачи симплекс-методом, будет соответствовать угловой точке Q, а оптимальный - угловой точке Н (рис. 8).

Рис. 8.

Следовательно, количество итераций симплекс-метода зависит от выбора исходного базисного плана и количества угловых точек, встречающихся при движении от исходного плана к оптимальному.

В § 5.9 будет рассмотрен алгоритм, реализующий симплекс-метод. Алгоритм - это четко предписанная последовательность действий (шагов), выполнение которой гарантирует достижение определенной цели.

Для решения задачи линейного программирования описываемым далее симплекс-методом необходимо привести ее к канонической форме и определить исходное допустимое базисное решение. Отталкиваясь от этого решения, с помощью алгоритма симплекс-метода приходят к оптимальному решению или выводу о том, что задача решения не имеет.