12.2. Статические модели управления запасами Уилсона

Эти модели считаются классическими в теории управления запасами и носят еще и другое название - модели с фиксированным размером заказа.

12.2.1. Статическая модель без дефицита

Пусть спрос на детали постоянен и равен h деталей в единицу времени. Нехватка деталей на складе недопустима. Пополнение склада происходит партиями по n деталей в каждой. Затраты на доставку одной партии на склад не зависят от размера партии, постоянны и равны c₀ рублей. Стоимость хранения одной детали в единицу времени (за единицу времени в таких задачах обычно принимают сутки или неделю) равна c_t. Общий спрос за интервал времени T равен N деталей. Однако не обязательно завозить на склад сразу все N деталей. Возможно, что это выгоднее делать в несколько приемов, пополняя склад через интервалы времени T₀ партиями по n деталей. Всего партий будет m. Очевидно:

(1)

Величины N, T, c₀ и c_t - заданы. Требуется определить экономичные размеры партий n, число партий m и их периодичность T₀ так, чтобы суммарные затраты оказались наименьшими. Если предположить, что все искомые величины найдены, то характер изменения количества продукции на складе будет иметь вид пилообразной линии (рис. 2). Вертикальные отрезки этой линии соответствуют моментам пополнения склада, наклонные - равномерному забору продукции со склада.

Рис. 2.

Очевидно, если мы найдем одну из искомых переменных, например n, то сразу найдутся и остальные:

,

(2)

Затраты на хранение пропорциональны площади треугольника пилы и равны . Суммарные затраты C равны:

(3)

В уравнение входят три искомых переменных n, m и Т₀. Исключим m и Т₀ с помощью выражения (1):

(4)

Чтобы найти минимум C, надо приравнять нулю производную . Можно также воспользоваться известным свойством: сумма двух переменных величин при постоянном их произведении имеет наименьшее значение, когда эти две переменные равны. Так как произведение слагаемых и равно , т.е. постоянно, то стоимость будет минимальной, когда:

=

(5)

Откуда легко найти:

(6)

При решении этой задачи мы без оговорок приняли условие, что нехватка продукции на складе - недопустима. Если она грозит срывом производства и большими убытками, это действительно так. Но часто бывает, что нехватка приводит к приостановке процесса, что, конечно, вызывает убытки, но не безграничные, а соизмеримые с затратами на содержание деталей на складе. Тогда может оказаться, что допустить известное количество простоев будет выгоднее, чем добиваться абсолютно бесперебойного снабжения.

12.2.2. Статическая модель с дефицитом

Чтобы решить задачу при этом новом условии, надо дополнительно ввести в рассмотрение денежную оценку потерь от неудовлетворенного спроса. Иногда эта оценка довольно субъективна. Так, парикмахеру трудно точно оценить убыток от того, что клиент ушел, увидев очередь, или продавцу газет трудно вычислить потери от того, что покупатель пришел к нему, когда газеты были уже проданы.

Но предприятие может оценить убытки от простоя станка. Если склад независим от предприятия, то при заключении договора на поставку оговаривается уплата неустойки в случае неполной поставки или ее опоздания. Тогда можно оценить точно потери от неудовлетворенного спроса.

Приведем формулы для решения этой задачи без вывода.

Если убытки от недопоставки составляют c_н рублей за деталь в единицу времени, то общая сумма затрат оказывается равной:

(7)

В этой формуле n₀ означает максимальный уровень запаса на складе. Он меньше, чем размер партии, так как при привозе партии часть деталей сразу же направляется на покрытие неудовлетворенного в прошлом цикле спроса. В результате отыскания минимума С найдем:

	(8)
	(9)
	(10)

Характер изменения запаса на складе показан на рис. 3.

Рис. 3.

Пусть, например, требуется поставлять равномерно 10000 машин в 100 дней. Доставка партии на склад обходится в c₀=450 ед.; стоимость хранения c_t=9 ден. ед. в день. Если задержки поставок недопустимы, то найдем:

	(11)

Итак, надо ежедневно пополнять склад сотней машин. Суммарные затраты склада при этом будут равны:

(12)

Пусть теперь потери от недопоставок составляют c_н=16 ед. Тогда:

=125	(13)
n0=0,64 125=80

Нетрудно найти величины T₁ и T₀. Сначала находим m:

	(14)

Итак, пополнение запаса следует делать через каждые 1,25 дня (30 часов), привозя на склад по 125 машин. При этом на протяжении 100 дней будет иметь место 80 перерывов в снабжении длительностью в 0,45 дня каждый. Максимальный уровень запаса на складе будет составлять 80 машин. Сумма затрат склада теперь будет:

(15)

Мы видим, что введение регламентированного (но, по-видимому, слишком скромного) штрафа за недопоставки дало возможность складу сэкономить 18000 единиц за 100 дней путем искусственного перебоя в снабжении. Поучительно, неправда ли?

Что может сделать заказчик, чтобы предотвратить неприятности, связанные с недополучением заказа? Непосредственной защитой может быть повышение цены неустойки.

Приведенная выше модель является классической в теории запасов. Она позволяет сделать ряд весьма полезных заключений. Но как и большинство классических моделей она слишком идеальна и почти никогда не встречается на практике.