11.2.Решение игры в чистых стратегиях
Задачей теории игр является нахождение решения игры, т.е. определение для каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.
Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника. Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.
При выборе стратегий можно базироваться на различных принципах. В теории игр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрок предполагает, что его противник не глупее (так называемый принцип разумности). В результате этого рекомендуется в качестве наилучшей стратегии выбирать ту, которая обеспечивает наибольший гарантированный выигрыш, т.е. выигрыш, не зависящий от действий противника и который противник никак не может уменьшить. Элементы риска, а также просчеты и ошибки игроков во внимание не принимаются.
Исходя из указанного принципа опишем формально действия игроков. Если игрок А выбрал стратегию i, то его гарантированнй выигрыш составит:
|
|
|
где минимум берется по всем стратегиям игрока В (по строке платежной матрицы с номером i). Так как по каждой своей стратегии (по каждой строке матрицы) игрок А выбрал гарантированный выигрыш, он среди всех своих стратегий может теперь выбрать такую, которая обеспечит ему максимальный гарантированный выигрыш:
|
|
(2) |
Стратегия, соответствующая максимальному значению минимумов строк, называется максиминной стратегией, а величина v1 -нижней ценой игры или максимином.
Игрок В, рассуждая аналогично, может среди всех своих стратегий выбрать ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш:
|
|
(3) |
Стратегия, соответствующая минимальному значению максимумов столбцов, называется минимаксной стратегией, а величина v2 -верхней ценой игры или минимаксом.
Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то он получит выигрыш не меньше максиминного значения, т.е.:
|
|
(4) |
Если игрок В придерживается минимаксной стратегии, то его проигрыш будет не больше минимаксного значения, а именно:
|
|
(5) |
В общем случае отношение между нижней и верхней ценой игры устанавливается неравенством:
|
|
(6) |
Существуют игры, для которых:
|
|
(7) |
Такие игры называются играми с седловой точкой. Соответствующие этим значениям стратегии игроков А и В являются оптимальными, а элемент платежной матрицы игры с седловой точкой, отвечающий этим оптимальным чистым стратегиям, называется седловой точкой. Элемент платежной матрицы, соответствующий ее седловой точке, является ценой игры. Обозначим ее через v. Тогда при наличии седловой точки имеет место равенство:
|
v=v1=v2 |
(8) |
Если v>0, игра выгодна игроку А. При v<0 игра выгодна игроку В. В случае v=0 игра выгодна обоим игрокам и называется безобидной или справедливой.
В табл. 2 дан пример игры и ее решение. В данной игре каждый из двух игроков располагает четырьмя стратегиями и не имеет информации о том, какую стратегию применит противник.
В первую очередь
в каждой строке платежной матрицы
выберем минимальные элементы
и
запишем их в последний столбец табл. 2,
а в каждом столбце - максимальные
и запишем их в последнюю строку той же
таблицы.
Затем определяется нижняя и верхняя цена игры путем выбора максимального элемента в последнем столбце таблицы и минимального - в последней строке. В данном примере v1=v2=7. Следовательно, платежная матрица имеет седловую точку и оптимальными для игроков являются чистые стратегии А2 и В2. Цена игры v=7.
Таблица 2
|
Вj Аi |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
|
А1 |
6 |
4 |
3 |
4 |
3 |
|
А2 |
12 |
7 |
10 |
9 |
7 |
|
А3 |
6 |
6 |
4 |
9 |
4 |
|
А4 |
12 |
3 |
12 |
7 |
3 |
|
|
12 |
7 |
12 |
9 |
7 7 |
Это означает, что если игрок А будет придерживаться своей оптимальной стратегии А2, он выиграет не менее 7, но может выиграть и больше, если игрок В отклонится от своей оптимальной стратегии В2. Аналогично, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии В2, он проиграет не более 7, но может проиграть и меньше, если игрок А выберет одну из стратегий А1, А3 или А4.
Игры с седловой точкой решаются в чистых стратегиях и процесс решения не представляет собой сложности. Существуют игры, в которых платежная матрица имеет более одной седловой точки. Эти точки дают одно и то же значение цены v, хотя соответствуют различным парам оптимальных стратегий.
Если седловая точка платежной матрицы отсутствует, игра решается в смешанных стратегиях.