7.5. Применение модели транспортной задачи при решении различных экономических задач

Наряду с задачами транспортировки грузов модель транспортной задачи находит широкое применение в различных видах экономической деятельности. Целый ряд задач линейного программирования, базирующихся на модели транспортной задачи, не имеют ничего общего с транспортировкой груза. Поэтому в зависимости от конкретной задачи величины с_ij, a_i, b_j и переменные x_ij могут иметь различный экономический смысл. Например, это может быть однопродуктовая модель оптимального размещения промышленного производства, в основе которой лежит открытая модель транспортной задачи.

В качестве другого примера использования модели транспортной задачи сформулируем задачу о назначениях и построим ее модель.

Пусть имеется n работников и n рабочих мест (работ). Известно, что i-й работник затрачивает на j-ю работу t_ij единиц времени (i= j=).

Требуется так распределить работников по рабочим местам, чтобы каждый работник был назначен на одну работу, каждая работа выполнялась одним работником при минимальном времени выполнения всеми работниками всех работ.

Обозначим через х_ij число, равное единице, если i-й работник назначен на j-ю работу, и нулю, если для j-й работы выбран другой работник, т.е.

(8)

Время, затрачиваемое всеми работниками на выполнение всех работ, должно быть минимальным, поэтому целевая функция задачи примет следующий вид:

.

Условия, гарантирующие прикрепление каждого исполнителя к одной работе, записываются в виде:

(9)

Условия, гарантирующие закрепление за каждой работой одного исполнителя, имеют вид:

(10)

Вместо условия (8), накладывающего ограничения на значение переменных, запишем:

Модель задачи о назначениях является частным случаем модели транспортной задачи. В ней m=n, а все a_i=b_j=1. Любая транспортная задача с целыми a_i и b_j всегда имеет целочисленное решение, причем в данном случае единственным возможным целым является единица. Поэтому условие (3) оказывается лишним.

Замечание. Вместо времени выполнения работником работы можно рассматривать производительность работника при выполнении определенной работы, и тогда целевая функция задачи будет максимизироваться. Возможно проводить и различные назначения: программистов назначать на составление определенных программ, преподавателей - на преподавание предметов, башенные краны - на монтаж объектов.

На практике может возникнуть ситуация, когда число работников (m) отлично от числа работ (n). Тогда, как и для транспортной задачи, можно рассматривать открытые модели задачи о назначениях. Если число работников меньше числа работ (m<n), то вводят n-m фиктивных работников. Время выполнения фиктивными работниками работ принимается равным нулю. В случае m>n вводят m-n фиктивных работ, а время выполнения фиктивных работ полагают очень большим (М).

Тема 8. Модели и методы дискретного программирования

8.1. Постановка задачи дискретного программирования

Дискретное программирование - раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные налагается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Задача целочисленного линейного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, только добавляется требование (ограничение) целочисленности значений всех или некоторых переменных.

В общем виде задача целочисленного линейного программирования может быть представлена следующим образом:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)

В случае, когда задача имеет ограничения целочисленности для всех переменных (n₁=n), т.е. значения всех переменных в оптимальном плане должны быть целыми числами, она называется полностью целочисленной. Если задача имеет ограничения целочисленности только для некоторых переменных (n₁<n), она называется частично целочисленной.

Задачи целочисленного линейного программирования могут возникать различными путями. Существуют задачи линейного программирования, которые формально к целочисленным не относятся (требование целочисленности переменных в них отсутствует), но значения переменных в оптимальном плане получаются целые. В частности, при целочисленных исходных данных все допустимые решения транспортной задачи, а следовательно, и оптимальное, будут целочисленными. Это происходит потому, что численные методы решения транспортной задачи (в частности, рассмотренный ранее метод потенциалов) требуют применения к исходным данным только действий сложения и вычитания. Симплекс-метод содержит операцию деления и поэтому в большинстве случаев целочисленного решения не дает.

В ряде случаев при построении математических моделей реальных систем естественным образом приходят к задачам целочисленного линейного программирования. В некоторых задачах дробные значения переменных противоречат их физическому смыслу. К таким задачам относятся, в частности, так называемые задачи с неделимостями, в которых требуется определить либо количество автомобилей, судов, самолетов, необходимых для осуществления заданного плана перевозок, либо количество станков, требуемых для выполнения определенного плана, либо количество неделимой продукции (автомобилей, станков, самолетов, тракторов и т.п.), которое может произвести определенное предприятие, и т.д.

Рассмотренная в гл. 5 задача об использовании ресурсов может быть отнесена к задачам целочисленного линейного программирвоания, если все виды продукции или часть из них, производимые на предприятии, для которого решается задача, являются неделимыми. В задаче о диете продукты, из которых составляется диета, могут оказаться фасованными. В транспортной задаче единицы перевозимого груза могут быть неделимыми.

Одной из простейших и наиболее распространенных задач целочисленного линейного программирования, в которой требование целочисленности также естественно, является так называемая задача о ранце (о рюкзаке). Сформулируем условие этой задачи и построим ее модель.

Турист, отправляющийся в длительный поход, может взять с собой n предметов. Известно, что каждый предмет вида j имеет массу а_j, кг (j=). Для переноски предметов используется рюкзак, в который можно поместить груз массой не более b, кг. Ограничение на общую массу предметов является естественным, так как, во-первых, рюкзак может не выдержать слишком большой массы и, во-вторых, двигаться с тяжелым рюкзаком в походе затруднительно. По каждому предмету вида j задана его ценность с точки зрения незаменимости в походе - с_j (j=). Требуется определить количество предметов каждого вида, которое турист может положить в рюкзак, чтобы суммарная ценность груза была максимальной.

Обозначим через х_j (j=) - количество предметов j-го вида. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)

Замечание. Впервые данная задача была сформулирована как задача заполнения ранца и поэтому получила такое название, которое чаще всего используется в литературе. Модель данной задачи можно рассматривать как типовую модель целочисленного линейного программирования, поскольку с ее помощью решаются, например, задачи загрузки судов, самолетов, автомобилей, вагонов и других транспортных средств, имеющих ограниченный объем и грузоподъемность. Ценность груза в каждом конкретном случае может задаваться некоторыми числовыми оценками, определенными на основании критерия ценности (продолжительности хранения, потребности в данном грузе и т.п.).

Другими задачами, в которых переменные могут принимать только целочисленные значения (как в допустимом, так и в оптимальном плане), являются задачи выбора вариантов, широко используемые на практике. К этому типу относится, например, рассмотренная в главе 6 задача о назначениях. Возникают также задачи выбора оптимальных вариантов размещения предприятий, проектов различных объектов (зданий, сооружений) и т.п.

В задачах выбора вариантов переменные могут принимать значения только 0 и 1. Если в такой задаче значение переменной, например, х_j=1, то вариант или проект с номером j включается в план. Значение х_j=0 означает, что вариант или проект с номером j не удовлетворяет условиям задачи.