2.5. Использование балансового метода на предприятии

В заключение приведем пример использования балансового метода на предприятии.

Пример. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. В следующей таблице указаны расходные коэффициенты a_ij продукции i-го цеха, используемой как "сырье" (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции j-го цеха, а также количество единиц продукции i-го цеха, предназначенной для реализации (конечный продукт).

Цех	Прямые затраты			Конечный продукт
	1	2	3
1	0	0,2	0	200
2	0,2	0	0,1	100
3	0	0,1	0,2	300

Требуется определить:

1) коэффициенты полных затрат;

2) производственную программу цехов;

3) валовой выпуск (план) для каждого цеха.

4) коэффициенты косвенных затрат.

При этом Х = (Х₁, Х₂, Х₃) - производственная программа завода, где X_j - валовой выпуск продукции i-го цеха.

Y = (Y₁, Y₂, Y₃) - план выпуска товарной продукции (он задан в последнем столбце таблицы).

Воспользуемся формулой (8): Х=(Е-А)^-1Y.

1. Элементы обратной матрицы (Е-А)^-1 представляют собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат:

(подсчитать коэффициенты косвенных затрат 1-го и 2-го порядка и сложить с прямыми).

Таким образом, для конечного выпуска, скажем, 1 ед. продукции во втором цехе нужно затратить 0,21 ед. продукции 1-го цеха, 1,06 - 2-го, 0,13 - 3-го.

2. Коэффициенты косвенных затрат находятся как разность:

3. Валовые выпуски продукции цехов:

4. Определим производственную программу каждого из цехов по формуле: x_ij = a_ijX_j. Получим:

Цех	Внутрипроизводственное потребление			Итого	Конечный продукт, Yi	Валовой выпуск, Хi
	1	2	3
1	0	37	0	37	200	3238
2	48	0	40	88	100	187
3	0	19	80	99	300	400

Тема 3. Математические методы сетевого планирования и управления

3.1. Основные понятия сетевой модели

Объектом управления в системах сетевого планирования и управления (СПУ) являются коллективы исполнителей, располагающие определенными ресурсами и выполняющие определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т. п.

Основой СПУ является сетевая модель (СМ), которая представляет собой совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основными понятиями СМ являются: событие, работа и путь. На рис. 1 графически представлена СМ, состоящая из 11 событий и 16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое действие, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i, j): первое "i" представляет собой номер события, из которого работа выходит, а второе "j" - номер события, в которое она входит. Работа не может начаться до тех пор, пока не свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t(i, j). Например, запись t(2, 5)=5 означает, что работа (2, 5) имеет продолжительность 5 единиц. К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической зависимости работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой. Такие работы называются фиктивными и на графике они изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6. 9)).

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие совершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении СМ изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i=1, 2, ..., N). В СМ имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.

Путь - это только цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются L1=(1, 2, 3, 7, 10, 11), L2=(1, 2, 4, 6, 11) и др. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают Lкр., а его продолжительность - tкр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение приводит к срыву всего комплекса работ.

СМ имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса, и принять решение о перераспределении ресурсов. Однако перед расчетом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:

1. В сетевом графике должно быть одно начальное и одно конечное событие (начальное событие не имеет входящих стрелок, а конечное - выходящих). Если указанное условие единственности начального или конечного события не выполняется, то его можно добиться путем введения фиктивных работ и событий. На рис. 2а изображен сетевой график с двумя начальными и двумя конечными событиями графика, а на рис. 2б показано, как этот график может быть преобразован с тем, чтобы было выполнено условие 1. Введенные фиктивные события и работы изображены пунктирными линиями.

2. В сетевом графике не должно быть “зацикливания”, т.е. замкнутых контуров, которые по существу означают, что условием начала каждой работы замкнутого контура является ее окончание (на рис. 3 работы (11, 13), (13, 12) и (12, 11) образуют цикл).

3. Любые два события на сетевом графике не должны быть непосредственно связаны более чем одной дугой. Такая ошибка чаще всего встречается при изображении параллельно выполняемых работ (рис. 4а). Для правильного представления на сетевом графике работ, которые могут выполняться параллельно, вводятся фиктивные события и работы, изображаемые пунктирными линиями (рис. 4б).

4. Сетевой график должен быть упорядочен. Упорядочение сетевого графика заключается в таком расположении событий и работ и в такой их нумерации, при которых все стрелки были бы расположены слева направо, а для работ (i, j) выполнялось бы условие i < j.

Такое упорядочение можно получить с помощью метода вычеркивания дуг, иллюстрация которого дана на рис. 5.

Начинаем осмотр сети с начальной вершины 1, которую относим к нулевому рангу. Вычеркиваем все дуги, выходящие из вершины 1. Тогда без входящих дуг окажутся вершины 2, 4. Будем называть их вершинами первого ранга, так как они соединены с начальной вершиной 1 одной дугой. Вычеркнув все дуги, выходящие из вершин первого ранга, опять получим вершины без входящих в них дуг (вершины 3, 7) и т.д. Максимальное число дуг, соединяющих вершины r-го ранга с начальным событием, равно r.

В результате указанных действий получим распределение вершин (расслоение) по рангам. Перенумеруем вершины в порядке возрастания рангов (табл. 1). При этом внутри слоя, т.е. множества вершин с одинаковым рангом, нумерация устанавливается произвольно.

Таблица 1