Тема 6. Двойственность в линейном программировании

6.1.Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства

Одним из направлений в математическом моделировании экономических задач является использование свойств двойственной задачи, которая может быть сформулирована для любой задачи на оптимум. Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но также сделать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной задаче линейного программирования (ЗЛП), т.е. послеоптимизационный анализ.

Понятие двойственности рассмотрим на примере задачи оптимального использования сырья. Пусть на предприятии решили рационально использовать отходы основного производства. В плановом периоде появились отходы сырья m видов в объемах b_i единиц (i=). Из этих отходов, учитывая специализацию предприятия, можно наладить выпуск n видов неосновной продукции. Обозначим через a_ij норму расхода сырья i-го вида на единицу j-й (j=) продукции, с_j - цена реализации единицы j-й продукции (реализация обеспечена). Неизвестные величины задачи: х_j - объемы выпуска j-й продукции, обеспечивающие предприятию максимум выручки.

Математическая модель задачи:

	(1)
	(2)
	(3)

Дополнительная переменная: y_i = b_i - a_ij x_j (i=)

Предположим далее, что с самого начала при изучении вопроса об использовании отходов основного производства на предприятии появилась возможность реализации их некоторой организации. Необходимо установить прикидочные оценки (цены) на эти отходы. Обозначим их u₁, u₂, ... u_m. Оценки должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и организации: 1) общую стоимость отходов сырья покупающая организация стремится минимизировать; 2) предприятие согласно уступить отходы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, организовав собственное производство. Эти требования формализуются в виде следующей ЗЛП.

Требование 1 покупающей организации - минимизация покупки:

(4)

Требование 2 предприятия, реализующего отходы сырья, можно сформулировать в виде системы ограничений. Предприятие откажется от выпуска каждой единицы продукции первого вида, если:

где левая часть означает выручку за сырье, идущее на единицу продукции первого вида; правая - ее цену.

Аналогичные рассуждения легко провести в отношении выпуска продукции каждого вида. Поэтому требование предприятия, реализующего отходы сырья, можно формализовать в виде следующей системы ограничений:

(5)

По смыслу задачи оценки должны быть неотрицательными:

(6)

Переменные u_i (i=) называются двойственными оценками или объективно обусловленными оценками. В зарубежной литературе их еще называют теневыми ценами.

Дополнительная переменная:

Задачи (1)-(3) и (4)-(6) называются парой взаимно двойственных ЗЛП. Так как задачи (1)-(3) и (4)-(6) записаны в симметричной форме, их принято называть парой симметричных двойственных задач.

Пара взаимно двойственных симметричных задач в виде конечных сумм имеет вид:

Прямая задача	Двойственная задача
	,

Согласно теории линейного программирования каждой ЗЛП вида (1)-(3) соответствует двойственная ей ЗЛП: (4)-(6).

Можно показать, что если в качестве прямой принять задачу (4)-(6) об определении оптимальных оценок на сырье, то двойственной к ней будет задача (1)-(3) об определении оптимального плана выпуска продукции.

Из моделей (1)-(3) и (4)-(6) непосредственно видно, что, имея математическую модель одной из этих задач, можно легко построить модель двойственной к ней задачи. Сопоставляя модели (1)-(3) и (4)-(6) пар двойственных задач, можно установить следующие взаимосвязи.

1. Если прямая задача на максимум, то двойственная к ней - на минимум, и наоборот.

2. Если прямая задача на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа . Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа .

3. Свободные члены b_i ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной.

4. Коэффициенты с_j целевой функции прямой задачи являются свободными членами ограничений двойственной задачи.

5. Матрицы коэффициентов ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

6. Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной, а число ограничений двойственной - числу переменных прямой.

7. Все переменные в обеих задачах неотрицательны.

Двойственная задача со смешанными ограничениями составляется с соблюдением следующих дополнительных правил.

1. Если на переменную x_j прямой задачи наложено условие неотрицательности, то j-е условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенства, и наоборот.

2. Если на переменную x_j прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то j-е ограничение двойственной задачи записывается в виде строгого равенства.

3. Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагается условие неотрицательности.

Очевидно, что задача, двойственная двойственной, совпадает с исходной. Поэтому безразлично, какую задачу принять в качестве прямой, а какую - двойственной. Следует говорить о паре взаимно двойственных задач.