7.2.Методы построения исходного плана

Для решения исходные данные транспортной задачи (4) сводятся в таблицу (табл. 1). Из условия (1) следует, что любое ограничение транспортной задачи является линейной комбинацией остальных. Следовательно, система ограничений транспортной задачи линейно зависима и содержит только m+n-1 независимых уравнений. Поэтому исходный допустимый невырожденный базисный план должен иметь m+n-1 базисную переменную и его легко можно получить непосредственно из данных таблицы. Все остальные переменные - небазисные и их значения равны нулю. Условимся эти нули в таблице не отражать, т.е. клетку, соответствующую небазисной переменной, оставлять незаполненной.

Для получения исходного плана используются различные методы, два их которых будут рассмотрены ниже.

Метод северо-западного угла

Определение значений x_ij начинается с левой верхней клетки таблицы (это соответствует северо-западному углу на географической карте). Находим значение х₁₁ из соотношения:

х11=min {a1, b1}

Возможны три варианта:

1) если а₁<b₁, то x_ij=a_i, строка i=1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а потребность первого потребителя b₁ (столбец j=1) уменьшается на величину а₁;

2) если а₁>b₁, то х₁₁=b₁, столбец j=1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у первого поставщика а₁ (строка i=1) уменьшается на величину b₁;

3) если а₁=b₁, то х₁₁=а₁=b₁, строка i=1 или столбец j=1 исключаются из дальнейшего рассмотрения. Такой вариант вычеркивания не приводит к вырождению исходного плана. Если вычеркнуть и строку i=1 и столбец j=1, то получается вырожденный исходный план.

Затем аналогичные операции проделывают с оставшейся частью таблицы, начиная с ее северо-западного угла. На последнем шаге процесса останется одна строка и один столбец. После заполнения клетки, стоящей на их пересечении, процесс завершается.

После завершения описанного процесса необходимо провести проверку полученного плана на вырожденность. Если количество заполненных клеток равно m+n-1, то план является невырожденным, в противном случае - вырожденным.

Если план вырожденный, т.е. количество заполненных клеток оказалось меньше m+n-1, то незаполненные клетки с минимальными стоимостями перевозок заполняются нулями, чтобы общее количество заполненных клеток стало равным m+n-1. Однако при расстановке нулей необходимо помнить, что в таблице не должно быть ни одного прямоугольника, все вершины которого являются заполненными клетками. Например, переменные x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂ или х₁₁, х_1n, x₂₁, x_2n (табл. 1) не могут быть одновременно базисными.

Метод минимального элемента

В отличие от метода северо-западного угла данный метод учитывает при построении исходного плана стоимости перевозок. В ряде случаев он позволяет получить лучший с точки зрения критерия оптимальности план, сокращая количество итераций для получения оптимального плана.

Определение значений х_ij начинается с клетки, имеющей минимальную стоимость перевозки (если таких клеток более одной, то договоримся выбирать первую по порядку).

Как и в методе северо-западного угла, переменной, отвечающей выбранной клетке, присваивается минимальное из двух возможных значений. Соответствующая строка или столбец исключаются из дальнейшего рассмотрения, а потребность потребителя или наличие груза у поставщика уменьшается на выбранную величину. Если для выбранной клетки с минимальной стоимостью перевозки наличие груза у поставщика равно потребности потребителя, то из дальнейшего рассмотрения исключаются строка или столбец.

Затем в оставшейся части таблицы проделывают аналогичные операции, опять начиная с клетки, имеющей минимальную стоимость перевозки. На последнем шаге процесса останется одна строка и один столбец. После заполнения клетки, стоящей на их пересечении, процесс завершается.

Проверка полученного плана на вырожденность и расстановка (в случае вырожденности плана) нулей осуществляется так же, как это описано для метода северо-западного угла.

Таблица 2

	10		8		7
11		8		6		5
	х11		х12		х13
14		4		5		7
	х21		х22		х23

Замечание. При получении описанными выше методами невырожденного исходного плана прямоугольники с заполненными клетками в каждой вершине не образуются.

Пример 1. Определим исходный базисный план методом северо-западного угла для транспортной задачи, исходные данные которой сведены в табл. 2, и отразим его в табл. 3.

Таблица 3

	10		7 8		7
1 11		8		6		5
	10		1
7 14		4		5		7
			7		7

1. х₁₁ = min [11, 10]=10, столбец 1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у первого поставщика (строка 1) уменьшается на 10 единиц и становится равным 1 единице.

2. х₁₂ = min [1, 8]=1, строка 1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а потребность второго потребителя (столбец 2) уменьшается на 1 единицу и становится равной 7 единицам.

3. х₂₂ = min [14, 7]=7, столбец 2 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у второго поставщика (строка 2) уменьшается на 7 единиц и становится равным 7 единицам.

4. Поскольку в таблице осталось одна строка (строка 2) и один столбец (столбец 3) - это последний шаг процесса, х₂₃=7.

Количество заполненных клеток в табл. 3. равно 4, m+n-1=2+3-1=4. Следовательно, полученный план невырожденный. Значения базисных переменных: х₁₁=10, х₁₂=1, х₂₂=7, х₂₃=7. Остальные переменные - небазисные и их значения равны нулю. Транспортные расходы f=.

Пример 2. Теперь для той же задачи (табл. 2) определим исходный базисный план методом минимального элемента и отразим его в табл. 4.

Таблица 4

	10		4 8		7
4 11		8		6		5
			4		7
4 14		4		5		7
	10		4

1. Переменной х₂₁ соответствует клетка с минимальной стоимостью перевозки, х₂₁ = min [а₂, b₁] = min {14, 10}=10. Столбец 1 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у второго поставщика (строка 2) уменьшается на 10 единиц.

2. В оставшейся части таблицы переменным х₁₃ и х₂₂ соответствуют клетки с минимальными стоимостями перевозок (с₁₃=с₂₂=5). Выбираем первую по порядку клетку, х₁₃=7. Столбец 3 исключается из дальнейшего рассмотрения, а наличие груза у первого поставщика (строка 1) уменьшается на 7 единиц.

3. х₂₂ = min [4, 8]=4, строка 2 исключается из дальнейшего рассмотрения, а потребность второго потребителя (столбец 2) уменьшается на 4 единицы.

4. Поскольку в таблице осталась одна строка (строка 1) и один столбец (столбец 2) - это последний шаг процесса, х₁₂=4, х₁₃=7, х₂₁=10, х₂₂=4. Остальные переменные - небазисные и их значения равны нулю. Транспортные расходы:

Для задачи, исходные данные которой приведены в табл. 2, методом минимального элемента получен лучший с точки зрения критерия оптимальности исходный базисный план (табл. 4). Однако из этого не следует, что методом минимального элемента всегда получается лучший исходный план. Существуют задачи, в которых метод северо-западного угла дает лучший план. Поэтому рациональность приведенных методов построения исходного плана можно оценить только в среднем.