7.4. Пример решения транспортной задачи
Пример 1. Решить транспортную задачу методом потенциалов, построив начальный опорный план по правилу северо-западного угла:
А=(30; 50; 40; 33) В=(58; 22; 18; 22)
Решение. В данной задаче четыре поставщика с запасами грузов аi, i=1, 4 и четыре потребителя с потребностями bj, j=1, 4. Прежде чем приступить к решению транспортной задачи, необходимо ее закрыть, если она открытая.
Суммарный объем
груза у поставщиков равен
,
а суммарная потребность составляет
величину
.
Так как АВ, то задача
открытая и, чтобы ее закрыть, вводим
5-го (фиктивного) потребителя с потребностью
в грузе, равной разности
.
Будем иметь
.1
Коэффициенты
транспортных расходов на доставку груза
от поставщиков к фиктивному потребителю
полагаются равными нулю:
,
.
Представим закрытую Т-задачу в следующей табличной форме:
Таблица 1
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
8
6
2
0
х11
х12
х13
х14
х15
50
2
7
5
3
0
х21
х22
х23
х24
х25
40
1
4
3
5
0
х31
х32
х33
х34
х35
33
6
5
5
2
0
х41
х42
х43
х44
х45
Строки этой таблицы отвечают поставщикам, а столбцы -потребителям.
Требуется найти
оптимальный план поставок
;
;
.
Прежде чем приступить к нахождению оптимального плана поставок, необходимо иметь какой-нибудь опорный план. Существуют различные способы построения опорных планов в Т-задаче, но по условию задачи требуется найти его методом северо-западного угла.
Построение опорного плана Т-задачи по правилу северо-западного угла
Все исходные данные Т-задачи представляются в табличной форме (см. табл. 2).
Берется северо-западный
угол таблицы - клетка (1.1) и планируется
поставка от первого поставщика к первому
потребителю в объеме
.
Эта поставка записывается в правый
нижний угол клетки. Величина запланированной
поставки вычитается из запаса груза
и потребности
.
Неудовлетворенная потребность первого
потребителя становится 58-30=28, а запас
груза у первого поставщика полностью
исчерпанным. Первая строка закрывается,
т.е. она больше не участвует при построении
начального опорного плана.
Таблица 2
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
8
6
2
0
30
-
-
-
-
50
2
7
5
3
0
28
22
-
-
-
40
1
4
3
5
0
-
0
18
22
-
33
6
5
5
2
0
-
-
-
0
33
В оставшейся части
таблицы снова берем северо-западный
угол - клетка (2.1). Полагая
,
корректируем запас груза у второго
поставщика. Потребность первого
удовлетворена полностью, следовательно,
первый столбец закрывается.
Берем клетку (2.2),
полагаем
и вычитаем величину этой поставки из
оставшегося объема груза у второго
поставщика и потребности второго
потребителя.
В результате такой корректировки весь груз второго поставщика распределен (запас исчерпан) и полностью удовлетворена потребность в грузе второго потребителя.
Внимание! Если на каком-либо шаге применения метода северо-западного угла одновременно исчерпывается запас груза у поставщика и удовлетворяется полностью потребитель, то закрыть следует что-нибудь одно: либо строку, либо столбец.
Соблюдение данного
правила гарантирует занятость
клеток опорным планом поставок (где
и
- количество поставщиков и потребителей
соответственно).
Это необходимо для нахождения потенциалов.
Итак, в случившейся ситуации можно закрыть либо вторую строку, либо второй столбец. Закроем вторую строку.
Затем берем клетку
(3.2), находим
и закрываем второй столбец.
В оставшейся части
таблицы северо-западной клеткой будет
клетка (3.3). Полагая
,
для клетки (3.4) находим величину поставки
.
После осуществления этой поставки
одновременно удовлетворены потребность
четвертого потребителя и полностью
распределены грузы третьего поставщика.
Закроем третью строку и перейдем к
клетке (4.4), Находим, что
.
После записи нулевой поставки в клетку
(4.4) таблицы ее столбец автоматически
закрывается.
Последней
рассматривается клетка (4.5), куда заносится
объем поставки
.
За (m + n – 1) шагов находится опорный план.
Представленный в таблице 2 опорный план содержит 4+5-1=8 поставок, причем две из них - нулевые поставки.
Из самого способа построения опорного плана вытекает его сбалансированность по поставщикам и потребителям. Однако во избежание ошибок при вычислениях рекомендуется проверить все балансы путем суммирования поставок по строкам и столбцам.
Основные процедуры метода потенциалов
1) вычисление потенциалов, согласованных с найденным опорным планом;
2) проверка плана на оптимальность с помощью потенциалов;
3) улучшение плана в случае его неоптимальности.
Шаг 1. Вычисление потенциалов, согласованных с опорным планом поставок
Потенциалы
и
поставщиков
и потребителей находятся из уравнений
вида
.
Такие уравнения составляются для всех
занятых поставками клеток таблицы
(исходя из критерия оптимальности –
см. курс лекций).
|
Занятые клетки |
|
Система уравнений |
|
(1.1) |
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
(2.2) |
|
|
|
(3.2) |
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
(3.4) |
|
|
|
(4.4) |
|
|
|
(4.5) |
|
|
Полагая, например,
,
найдем последовательно все остальные
неизвестные:
,
,
,
,
,
,
,
.
Добавим к таблице
2 столбец справа для потенциалов
поставщиков и строку снизу для потенциалов
потребителей:
Таблица 3
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
-
8
6
2
0
+
10
30
-
-
-
-
50
2
+
7
-
5
3
0
13
28
22
-
-
-
40
1
4
+
3
5
-
0
16
0
18
22
-
33
6
5
5
2
+
0
-
19
0
33
15
20
19
21
19
524
В последней клетке
расширенной таблицы 3 будем записывать
сумму транспортных расходов. Обозначим
для начального плана поставок суммарные
затраты на перевозки через
.
Тогда:
.
При практическом определении потенциалов необязательно выписывать на каждой итерации соответствующую систему уравнений. Можно находить потенциалы непосредственно по таблице, не выписывая в явном виде систему уравнений для заполненных клеток.
Предположим, что известен какой-нибудь потенциал. Тогда возможны два случая.
Случай 1.
Известный потенциал относится к строке
(поставщику). Тогда по данному потенциалу
и по занятым клеткам этой строки (а в
каждой строке и столбце обязательно
есть хотя бы одна занятая клетка) можно
определить потенциалы тех столбцов
(потребителей), которым принадлежат
рассматриваемые занятые клетки.
Потенциалы потребителей определяются
(правило 1) по формуле
,
где
- известный потенциал поставщика, а
- тариф, стоящий в занятой клетке.
Случай 2.
Известен потенциал какого-либо столбца.
Тогда по занятым клеткам этого столбца
определяются (правило 2) потенциалы
строк, соответствующих этим клеткам,
по формуле
Процесс вычисления с помощью этих двух правил можно организовать следующим образом.
Выбираем какую-нибудь одну строку (столбец) таблицы. Потенциал выбранной строки полагается равным произвольному числу и по правилу 1 находим потенциалы всех столбцов, соответствующих занятым клеткам выбранной строки. Затем просматриваем столбцы с найденными потенциалами и по занятым в них клеткам по правилу 2 определяем потенциалы новых строк.
Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все занятые клетки и не найдены все потенциалы.
Применяя описанный способ к решению рассмотренной выше системы уравнений, процесс вычислений можно представить так.
Выбираем 1-ю строку
и полагаем
.
В этой строке одна занятая клетка,
расположенная в первом столбце,
следовательно, можно найти потенциал
по формуле
.
Просматривая 1-й столбец, находим в нем
занятую клетку (2.1), неиспользованную
еще для нахождения потенциалов. С ее
помощью находим потенциал
.
С помощью
и клетки (2.2) находим
и т.д.
Шаг 2. Проверка плана на оптимальность
Пусть определены
потенциалы, согласованные с некоторым
опорным планом. Они удовлетворяют
условию (1) критерия оптимальности плана
поставок в Т-задаче (см. курс лекций).
Следовательно, для того чтобы узнать,
оптимален ли анализируемый план или
нет, нужно проверить, удовлетворяют ли
эти потенциалы условию (2). Это равносильно
проверке условий
для свободных клеток.
Обозначим
.
Тогда критерий оптимальности опорного
плана поставок может быть сформулирован
так: опорный план поставок оптимален
тогда и только тогда, когда потенциалы,
согласованные с ним, удовлетворяют
условию
0, где
- свободные клетки таблицы.
Возвратимся к
таблице 3 и с ее помощью вычислим величины
для свободных клеток. Тогда, будем иметь
следующее:
-
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Таким образом
условие
0 нарушается для многих клеток.
поэтому найденный план не оптимален.
Шаг 3. Улучшение плана поставок
3.1. Среди положительных
величин
выбирается максимальная. В нашем примере
это две величины:
и
.
Выбираем какую-нибудь из них, например,
.
Клетка (1.5) отмечается в таблице 3 знаком
"". Эта клетка
в следующей таблице будет занята
поставкой. Одновременно с занятием
новой клетки происходит освобождение
одной из занятых прежним планом клеток.
Удаляемая из плана поставка находится
с помощью цикла.
3.2. Смотрим, с какой занятой клеткой первой строки или пятого столбца можно соединить клетку (1.5) в таблице 3. Построим цикл, двигаясь от клетки (1.5), к другой занятой клетке, например, по часовой стрелке. В пятом столбце имеется единственная занятая клетка (4. 5), с которой может быть соединена клетка (1.5).
Следующее звено ломаной должно находится в четвертой строке. Так как в этой строке тоже единственная занятая клетка (4.4), то ее следует соединить с клеткой (4.5).
Очередное звено ломаной должно находится в четвертом столбце таблицы - это будет звено, соединяющее клетки (4.4) и (3.4).
Следующее звено должно находится в третьей строке. В третьей строке таблицы - две занятые клетки. Для отыскания нужной клетки применяется метод проб и ошибок. Попробуем соединить клетку (3.4) с клеткой (3.3). В одной строке таблицы не может быть более одного звена ломаной, поэтому следующее звено должно быть расположено после такого соединения в третьем столбце таблицы. Однако в третьем столбце нет больше занятых клеток, и поэтому нельзя замкнуть ломаную. Клетка (3.3), следовательно, является тупиковой и ее нельзя соединять с клеткой (3.4). Остается единственная возможность - соединить клетку (3.4) с занятой клеткой (3.2).
Далее процесс построения цикла пойдет однозначно. Следующее звено должно находится во втором столбце, поэтому соединяем клетки (3.2) и (2.2). Затем в цикл войдут клетки (2.1) и (1.1). Соединяя клетки (1.1) и (1.5), ломаная линия замыкается.
3.3. Начиная с клетки (1.5) обойдем клетки, лежащие в углах цикла, в каком-либо одном направлении (например, по часовой стрелке), отмечая их попеременно знаками "+" и "-".
Далее в минусовых
клетках цикла находим минимальную
поставку
,
которую обозначим через
.
В нашем примере четыре минусовых клетки
в цикле - клетки (4.5), (3.4), (2.2). (1.1). Минимальная
поставка находится в двух клетках -
(2.2) и (3.4), т.е.
.
3.4. Переходим к
новому плану поставок
путем корректировки старого плана по
следующим формулам:
(4)
Корректировку
плана лучше начинать с перераспределения
поставок в клетках цикла, добавляя к
поставкам в плюсовых клетках цикла
величину
и вычитая ее из поставок в минусовых
клетках.
При этом рекомендуется обходить клетки цикла последовательно в одном направлении, начиная с новой занимаемой клетки (1.5).
В таблице 4 представлен новый план:
Таблица 4
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
-
8
6
2
0
+
10
8
22
50
2
7
5
3
0
13
50
40
1
+
4
3
5
-
0
7
22
18
0
33
6
5
5
2
+
0
-
10
22
11
15
11
10
12
10
326
Следует отметить, что если минимальная поставка находится одновременно в нескольких минусовых клетках цикла, то при переходе к новому опорному плану освобождаются только одна из них, а остальные остаются занятыми нулевыми поставками. Так, при переходе от таблице 3 к таблице 4 освободилась клетка (2.2), а другая клетка с минимальной поставкой - (3.4) - остается занятой (нулём). В таблице 4 по-прежнему 8 занятых клеток.
Суммарные транспортные расходы на новый план поставок могут быть получены путем корректировки суммы транспортных расходов на прежний план по формуле:
Получим:
.
На этом полностью заканчивается одна итерация метода оптимизации. Далее процесс продолжается аналогичным способом.
2-я итерация. Проверяем новый план на оптимальность. Находим потенциалы, согласованные с планом таблицы 4.
Пусть
,
тогда по занятым клеткам находим:
,
,
,
и т.д.
Считаем величины
для свободных клеток:
-
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Таким образом,
план неоптимален, так как среди величин
имеются положительные. Находим
.
Клетку (3.1) отмечаем
знаком "" и
находим цикл. Помечаем угловые клетки
цикла плюсами и минусами. Минимальная
поставка в минусовых клетках цикла
равна
.
Клетка (3.1) при переходе к новой таблице
5 занимается в данном случае нулевой
поставкой, а клетка (3.4), соответствующая
минимальной поставке, освобождается.
Так как
,
то новый план поставок совпадает со
старым (табл. 5).
Транспортные
расходы по новому плану также останутся
прежними, т.е.
.
Однако потенциалы изменятся.
Таблица 5
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
-
8
6
2
0
+
15
8
22
50
2
7
5
3
0
18
50
40
1
+
4
-
3
5
0
19
0
22
18
33
6
5
+
5
2
0
-
15
22
11
20
23
22
17
15
326
3-я итерация.
Вычислим потенциалы, полагая
.
Находим величины
для свободных клеток таблицы 5:
-
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Поскольку
0,
план неоптимален. Отмечаем клетку (4.2)
знаком "" и
строим цикл, который в данном случае
образуют клетки: (4.2), (3.2), (3.1), (1.1), (1.5),
(4.5). Находим величину
,
новые поставки и сумму затрат
(см. табл. 6).
Таблица 6
-
bj
58
22
18
22
33
аi
30
5
8
6
2
0
9
30
50
2
7
5
3
0
9
50
40
1
4
3
5
0
10
8
14
18
33
6
5
5
2
0
9
8
22
3
11
14
13
11
9
302
4-я итерация.
Найдем новую
систему потенциалов, полагая
.
Проверяем план на оптимальность:
-
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Все
0.
Получен, следовательно, оптимальный
план.
Ответ:
|
Оптимальный план перевозок:
|
|
|
|
Затраты на перевозку в оптимальном плане:
|
