6.2. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности

Для пары взаимно двойственных задач вида (1)-(3) и (4)-(6) возможен один из взаимоисключающих случаев:

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: f(x)=g(u).

2. В прямой задаче допустимое множество непусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество непусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе рассматриваемые задачи имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)

Пусть - допустимое решение прямой задачи (1)-(3), а - допустимое решение двойственной задачи (4)-(6). Для того чтобы они были оптимальными решениями соответственно задач (1)-(3) и (4)-(6), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

т.е.	(7)
т.е.	(8)

Условия (7) и (8) позволяют, если известно решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут использованы в дальнейшем, - теорему об оценках.

Значения переменных u_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_i системы ограничений-неравенств прямой задачи на величину :

(9)

Решая ЗЛП (1)-(3) симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную ЗЛП (4)-(6). Переменные двойственной задачи у_i называют объективно обусловленными оценками.

6.3.Экономическая интерпретация двойственной задачи Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов.

Для составления плана выпуска четырех видов продукции Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ на предприятии используют три вида сырья S₁, S₂ и S₃. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль, полученная в результате выпуска каждого вида продукции приведены в табл. 1.

Составим экономико-математическую модель задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем x_j - объем выпуска продукции j-го вида (J=1,2,3,4).

Таблица 1

Вид сырья	Запасы сырья	Вид продукции
		Р1	Р2	Р3	Р4
S1	35	4	2	2	3
S2	30	1	1	2	3
S3	40	3	1	2	1
Прибыль		14	10	14	11

Модель задачи:

Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы u₁, u₂, u₃, исходя из двух условий: 1) покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов; 2) за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Согласно первому условию общая стоимость сырья выразится величиной . Согласно второму требованию вводятся ограничения: на единицу первого вида продукции Р₁ расходуются четыре единицы первого ресурса S₁ ценой u₁, одна единица второго ресурса ценой u₂ и три единицы третьего ресурса ценой u₃. Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производство единицы первого вида продукции, равна и должна составлять не менее 14, т.е. .

В результате аналогичных рассуждений относительно производства второго и третьего видов продукции система неравенств примет вид:

Цены ресурсов, естественно, должны быть неотрицательные:

Получили симметричную пару взаимно двойственных задач: для производственной программы и при любом векторе оценок выполняется неравенство , т.е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки имеющихся ресурсов. Значит, величина характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальных производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.

Согласно второй теореме двойственности в данном случае к оптимальной производственной программе и оптимальному вектору оценок предъявляются следующие требования:

если то если то	(10)
если то если то	(11)

Условия (10) можно интерпретировать так: если оценка u_i единицы ресурса i-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью, если же ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю. Из условия (11) следует, что если j-й вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках неточен, если же j-й вид продукции убыточен, то он не войдет в план, не будет выпускаться.