5.5. Примеры решения задач линейного программирования графическим методом

Пример 1. Решим графическим методом задачу об использовании ресурсов (1), рассмотренную в §5.2. Модель этой задачи имеет вид:

f=12x1+15x2  max x10, x20.

Рис. 4.

Рис. 4 показывает, что областью допустимых решений задачи является замкнутый ограниченный многоугольник ОАВСД и целевая функция достигает максимального значения в точке В. Точка В лежит на пересечении прямых:

(13)

Для определения координат точки В необходимо решить систему (13) одним из следующих методов (здесь удобнее пользоваться методом Крамера). В результате получим, что , , а f_max=122+154=84.

На основании полученного решения делаем вывод, что продукции вида Р₁ следует выпускать 2 ед., продукции вида Р₂ - 4 ед. При этом будет получен максимальный доход от ее реализации, который составит 84 ед. стоимости.

Пример 2. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:

f=x1+x2  min x10, x20.

Областью допустимых решений данной задачи является замкнутый неограниченный многоугольник А'АВСС' (рис. 5).

Рис. 5.

Поскольку прямая f=x₁+x₂ =0 (целевая функция) и одна из граничных прямых области определения x₁+x₂ =2 (рис. 5, прямая II) имеют одинаковые угловые коэффициенты, при параллельном перемещении прямой f=0 по области определения в направлении вектора (-) она совпадает с указанной выше граничной прямой.

Решением данной задачи будет любая точка отрезка АВ. Определим координаты граничных точек отрезка АВ. Точка А имеет координаты , . Точка В лежит на пересечении прямых:

(14)

Следовательно, целевая функция f принимает минимальное значение в любой точке отрезка, граничные точки которого А(0, 2) и В. Задача имеет бесконечное число решений. Для определения минимального значения целевой функции необходимо подставить координаты одной из точек отрезка, в частности, точки А, в целевую функцию. Тогда f_min=0+2=2.

Пример 3. Рассмотрим задачу линейного программирования, которая не имеет оптимальных решений:

f=2x1+3x2  max x10, x20.

Областью допустимых решений данной задачи является замкнутый неограниченный многоугольник А'АВСС' (рис. 6).

Рис. 6.

Передвигая прямую f=2x₁+3x₂=0 параллельно самой себе по области определения в направлении вектора (направление возрастания значений целевой функции), убеждаемся в том, что чем дальше эта прямая уходит от начала координат, тем большее значение принимает целевая функция.

Остановившись на одной из таких прямых, всегда можно найти допустимые точки, которые приносят большее значение целевой функции и лежат на других линиях уровня. Это обстоятельство дает возможность сделать вывод, что f  . Данная задача решения не имеет, так как целевая функция не ограничена на множестве планов задачи.

Следовательно, в случае неограниченности множества допустимых решений задача линейного программирования может не иметь оптимальных решений.

Пример 4. Рассмотрим задачу линейного программирования, у которой отсутствуют допустимые решения:

f=2x1+x2  min x10, x20.

Рис. 7. показывает, что область определения данной задачи отсутствует, т.е. не существует точек, которые удовлетворяют одновременно всем ограничениям. Ограничения задачи несовместные. Задача решения не имеет, так как множество ее допустимых планов пусто.

Рис. 7.