Если не учитывать сжатие эллипсоида, угол ψ будет углом между радиусами-векторами фиксированной точки Р и текущей точки Q поверхности сферы или дугой PQ на поверхности еди­ ничной сферы.

§ 11. ВЛИЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЮСА НА КООРДИНАТЫ

Выше (см. § 4) отмечено, что в общеземной системе координат ось Ζ совмещена с осью вращения Земли, а начало этой системы - с центром масс. Положение центра масс Земли в ее теле стабиль­ но и по разным оценкам может изменяться в пределах лишь не­ скольких миллиметров, что не ощутимо при нынешней точности геодезических измерений. Поэтому условие совмещения начала общеземной системы координат с центром масс Земли не вызыва­ ет неопределенности.

Иначе обстоит дело с осью Ζ. Ось вращения Земли изменяет свою ориентировку в пространстве из-за явлений прецессии и нутации, а Земля смещается относительно оси вращения, что при­ водит к перемещению оси вращения в теле Земли. Изменение по­ ложения оси вращения в пространстве не имеет значения для ус­ тановления земной системы координат; в этом случае взаимное положение точек поверхности Земли и оси вращения остается не­ изменным и изменения координат не происходит. А изменение положения оси Ζ вращения внутри Земли проявляется как движе­ ние полюсов по ее поверхности и вызывает изменение координат точек.

Рассмотрим влияние движения полюса на пространственные прямоугольные и астрономические координаты.

На рис. 2.13 ζ - положение полюса в некоторый начальный момент; ζ' - мгновенный полюс; о - начало счета долгот; Р - про­ извольная точка поверхности Земли, <р, Я - координаты этой точ­ ки относительно полюса ζ и начального меридиана oCz; С - центр масс Земли; φ\ X - мгновенные координаты, связанные с полю­ сом z'; PQ - произвольное направление в точке Р.

Спроектируем точку z' на начальный меридиан в точку z v Переход от прямоугольной системы координат с осью CZ к сис­ теме с осью CZ' осуществлен поворотом на -£х = z'zj вокруг оси X и на £у = zzl вокруг оси У; угол £х на рис. 2.13 отрицателен. Найдем изменения прямоугольных координат точки Р с помощью выражений (2.4) - (2.5). Начало систем координат совмещено с центром масс С и не изменилось, поэтому х0 = у0 = ζ0= 0, масш­

57

таб также не изменяется и т = 0. Тогда для изменений прямоу­ гольных координат находим

r - X = £zy - £ yZ,

Z' - Z = £УХ - £xyf

где X, У, Z относятся к полюсу z; X'; У; Z' - к мгновенному полюсу z'; £z - угол поворота вокруг оси Z (на рис. 2.13 не пока­ зан). Выясним смысл этого угла. При равномерном вращении Земли вокруг оси Z с постоянной угловой скоростью угол £z считают равным нулю. Значит, £z выражает колебания угловой скорости вращения. Кроме того, этот угол является следствием смещения точки Р вдоль параллели, вызванного горизонтальными движени­ ями земной коры, а также изменения начала счета долгот.

Найдем разности астрономических координат. Амплитуда дви­ жений полюса составляет 12 м или около 0,4", поэтому углы εγ и £у малы; угол £ζ также не превышает десятых долей секунды. Поэтому при определении разности координат можно не учитывать сжатие

Рис. 2.13. Изменение координат из-за смещения полюса

58

Земли и считать Землю шаром радиуса R. Тогда связь прямоуголь­ ных и астрономических координат выразят зависимости (2.20)

X = R coscpcosA, Y - R costpsinA, Z=R sirup

и аналогично для X , У, Z'. Подставив эти выражения в формулы (2.40) и выполнив преобразования, найдем

Формулу (2.41) впервые получил астроном Пулковской обсер­ ватории С.К. Костинский (1867-1936) в 1893 г.

Согласно (2.41) - (2.42), разность широты зависит только от долготы точки поверхности Земли, поэтому для всех пунктов, ле­ жащих на одном меридиане, полярные изменения широты одина­ ковы. Разность долгот, кроме члена, зависящего от координат <р, А, содержит постоянную для всех станций величину εζ. Для точки на экваторе tg<p = 0 и

λ ' - Α = -εζ.

Этот член выражает изменения долготы, не связанные с движени­ ем полюса или неполярные изменения долготы. Формулу (2.42) за­ пишем в виде

где (A' - А)п - полярные изменения долготы, т.е. изменения, выз­ ванные движением полюса.

Изменение оси вращения вызывает смещение астрономичес­ кого меридиана точки Р и изменение астрономического азимута. Для начального положения полюса азимут а линии PQ равен углу zPQ (см. рис. 2.13), в системе мгновенного полюса - углу z'PQ. Найдем разность азимутов из треугольника РР0Р0'; Р0, Р0' - точ­ ки пересечения начального и мгновенного меридианов точки Р с экватором соответственно. Если не учитывать наклон мгновенно­ го экватора (на рис. 2.13 он не показан) к его начальному поло­ жению, можно считать дугу Р0Р0' равной мгновенной широте φ' и из прямоугольного треугольника РР0Р0' написать

59

Вследствие малости разностей d - а; A' - Я упростим это вы­ ражение. Разложим синусы малых углов в ряд, ограничимся только первыми членами разложения и заменим мгновенную широту φ' на широту φ. Тогда

d - а = (Я' - A)cos ес φ.

Подставляя это выражение в (2.42), находим

Следовательно, на основании формул (2.40) - (2.44) заключа­ ем, что для определения мгновенной оси вращения Земли можно использовать измерения прямоугольных координат или астроно­ мических координат и азимута. Первоначально для определения положения полюса использовали широтные наблюдения.

§ 12. МЕЖДУНАРОДНАЯ СЛУЖБА ШИРОТЫ И МЕЖДУНАРОДНОЕ УСЛОВНОЕ НАЧАЛО

До начала XVIII в. считалось, что широта места не изменяет­ ся и ось вращения внутри Земли занимает постоянное положе­ ние. Однако уже Ньютон, рассматривая вращательное движение Земли, пришел к заключению, что полюсы вращения Земли долж­ ны перемещаться по ее поверхности. В 1758 г. Л.Эйлер получил дифференциальное уравнение вращения абсолютного твердого тела вокруг неподвижной точки и применил это уравнение к Зем­ ле, считая ее абсолютно твердой и изолированной в простран­ стве. Эйлер установил, что мгновенный полюс вращения Земли движется вокруг полюса инерции с периодом 305 звездных су­ ток. Этот период получил название периода Эйлера. Работа Эйлера о вращательном движении Земли была опубликована в 1790 г., уже после его смерти. Наблюдения с целью определения угла между осью вращения Земли и полярной осью инерции нача­ лись в XIX в. В Пулковской обсерватории такие наблюдения на­ чаты в 1842 г.

В 1892 г., спустя 100 лет после выхода работы Эйлера, амери­ канский астроном Сэт Чандлер (1846-1913), обработав наблюде­ ния, выполненные в 17 обсерваториях с 1837 по 1891 г. устано­ вил, что в наблюдаемых изменениях широт выделяются два пери­ ода: 428 суток (или 1,2 года) и годичный. Годовое движение полюсов объясняется сезонными изменениями в атмосфере и гид­ росфере. Причиной чандлеровского колебания полюса являются

60

перемещения масс внутри Земли, изменяющие ориентировку эл­ липсоида инерции. Движение полюса с периодом 428 суток эквива­ лентно эйлерову движению для упругой Земли.

Из механики известно, что для описания вращательного движения тела необходимо определить его моменты инерции. Существуют шесть независимых моментов инерции - три осевых А, В, С и три центробеж­ ных D, E, F

где dm - элемент массы тела; х, у, ζ - координаты этого элемента в произвольной прямоугольной системе координат с центром в любой точке тела, интеграл вычислен по всем массам тела. Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежные могут иметь любой знак. Если начало координат поместить в центр масс тела, а оси расположить так, чтобы центробежные моменты равнялись нулю, оси координат со­ впадут с главными центральными осями инерции тела. Центральные моменты инерции тела характеризуют его динамическую фигуру - эл­ липсоид инерции. Оси этого эллипсоида обратно пропорциональны кор­ ню из осевых моментов инерции

(2.47)

где а, b - экваториальные, с - полярная оси эллипсоида инерции.

В 1895 г. на XI Международной геодезической конференции в Берлине по предложению Ф.Гельмерта было принято решение об организации международной службы изучения движения полюса, получившей название Международная служба широты (МСШ). В октябре 1898 г. XII Международная конференция Международ­ ной комиссии по измерению Земли приняла решение о выборе на широте 39°08' с.ш. пяти станций, достаточно равномерно распре­ деленных на этой параллели (рис. 2.14). Наблюдения широты на­ чались с 1899 г.

После двух первых лет работы МСШ выяснилось, что на всех станциях наблюдается одно и то же изменение широты с годовым периодом, не связанное с движением полюса. Поэтому в формулу (2.41) Костинского добавляют еще один член и записывают ее в виде

φ' - φ = £у cos Я - εχ sin Я + ζ где ζ - неполярные изменения широты.

61

Рис. 2.14. Расположение станций Международной службы широты

В результате деятельности МСШ было установлено фиксиро­ ванное положение полюса на поверхности Земли - так называе­ мое Международное условное начало - МУН (Conventional Interna­ tional Origin-CIO). В 1969 г. МУН закреплено решениями XIV Гене­ ральной ассамблеи Международного геодезического и геофизичес­ кого союза (МГГС). В резолюции Комиссии по вращению Земли Международного астрономического союза (MAC) было сказано: «Координаты мгновенного полюса будут относиться к началу координат, определенному по следующим исходным координатам:

Это начало координат называется Международным условным началом».

62

Широты станций определены как простые средние за шесть лет (1900-1905). Шестилетний интервал включает шесть годичных и пять чандлеровых периодов, поэтому при таком осреднении колебания с соответствующими периодами в значительной степе­ ни исключаются и средние координаты близки к координатам полюса инерции. Широты всех пунктов с учетом движения полю­ са, вычисленного в соответствии с резолюцией MAC, автомати­ чески относятся к МУН.

Положение мгновенного полюса z' относительно Международ­ ного условного начала определяют в полярной системе коорди­ нат s, Яр или прямоугольной системе х, у (рис. 2.15). Ось х на­ правлена по касательной к начальному меридиану, ось у по каса­ тельной к меридиану 270° (-90°). Между прямоугольными х, у и полярными s, Яр координатами мгновенного полюса (см. рис. 2.15) существуют зависимости

х= s cos λρ,

у= -s sin λρ.

Рис. 2.15. Координаты мгновенного полюса в системе МУН

Координаты полюса в системе МУН выражают в угловой мере. Из сопоставления рис. 2.13 и рис. 2.15 следует, что углы £у и гх соответственно равны координатам х и у полюса

поэтому формулы (2.41) - (2.42) обычно записывают в виде

63