Рис. 2.9. Связь приращения геодезической высоты с превышением

Уклонение отвеса не превышает нескольких секунд, а расстоя­ ние AD - 100-150 м, поэтому cosO^r = 1, ύηϋ*Γ ADsma = Ah, ADcosa = ΑΙ Тогда

Таким образом, измеренные в геометрическом нивелировании превышения Ah можно редуцировать в геодезическую систему ко­ ординат, если на каждой нивелирной станции известны астро- номо-геодезические уклонения отвеса, т.е. выполнены астрономи­ ческие определения и известны геодезические координаты.

§ 10. ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Топоцентрической системой координат называют систему, на­ чало которой помещено в какой-либо точке Р поверхности Земли (рис. 2.10). Прямоугольная топоцентрическая система координат РХ', У', Z', оси которой параллельны осям общеземной системы X, У, Z, называется гринвичской экваториальной. В этой системе прямоугольные координаты любой точки равны приращениям ΔΧ, ΔΥ, ΔΖ общеземных координат относительно точки Р. В горизон-

52

Рис. 2.10. Топоцентрические системы координат:

ΡΧ Ύ 'Ζ ' - гринвичская экваториальная, Рх, у, ζ - горизонтная геодезическая

тной (или горизонтальной) топоцентрической системе Рх, у, ζ ось ζ совмещают с отвесной линией или нормалью к эллипсоиду, а оси х и у расположены в горизонтальной плоскости; при этом ось л: лежит в плоскости астрономического или геодезического ме­ ридиана и направлена на север, а ось у - на восток.

Переход от геоцентрической прямоугольной системы коорди­ нат X, У, Ζ к топоцентрической экваториальной РХ', У', Ζ ' вы­ полняется переносом начала системы в точку Р. Связь экватори­ альных РХ', У' Ζ ' и горизонтных Рх, у, ζ координат согласно рис. 2.10 осуществляется следующими преобразованиями: пово­ ротом вокруг оси Z' на угол 180° + L и переходом к системе коор­ динат ΡΧ'Ύ"Ζ'\ поворотом вокруг оси У" по часовой стрелке на

53

угол - (90° - В); переходом к левой системе координат (изменение направления оси У" на 180°).

Для получения х, у, ζ применим преобразование (2.1), исполь­ зуя для координат центра преобразованной системы х0 = ХР, у0 = УР, ζ0 = ΖΡ, а для углов поворота значения £х = 0, еу = - (90° - - В), εζ = 180° + L. В результате получим

Во второй строке матрицы преобразования знаки элементов изменены на противоположные для перехода к левой системе ко­ ординат (для поворота оси У" на 180°). Таким образом, для топоцентрических горизонтных координат находим

х = -(AAcosL + ATsinL) sini? + AZcosi?,

ζ = (AAcosL + ATsinL) cosi? +ΔΖ sinB,

где AX = X - Xp, AY = Y - YP, AZ - Z - Z P.

Если в матрице (2.34) использовать астрономические коорди­ наты, то преобразования (2.34), (2.35) позволят получить прямо­ угольные топоцентрические координаты, связанные с отвесной линией. Соответствующую систему координат называют горизонтной астрономической Р xAyAzA. В этой системе

хА = - (AAcosA + A7sinA)sin<p + AZcos<p,

zA - (AAcosA + ATsinA)cos<p + AZsin<j0 .

Наряду с горизонтными прямоугольными часто используют горизонтные полярные координаты D, A, Z (рис. 2.11). На ри­ сунке D - радиус-вектор (расстояние текущей точки Q от начала координат Р); А - азимут fдвугранный угол между плоскостью меридиана точки Р и вертикальной плоскостью, проходящей че­ рез точку Q), Z - зенитное расстояние - угол между осью ζ и

54

Рис. 2.11. Полярные топоцентрические координаты

отрезком D. Связь горизонтных полярных и прямоугольных ко­ ординат устанавливают соотношения:

х = D sinZ cosА;

z —D cosZ.

Для обратного перехода от горизонтных прямоугольных ко­ ординат к полярным служат формулы

-А Х sin L -I- Y cos L

D = >]AX 2 +A Y 2 +AZ2.

В уравнениях (2.38) учтены выражения (2.36) для координат л;, у, z. Формулы (2.37) - (2.38) можно использовать для связи горизонтных координат, связанных как с нормалью к эллипсои­ ду, так и с отвесной линией. В первом случае нужно использовать геодезические координаты В, L, геодезическое зенитное расстоя­ ние Ζ Γ и геодезический азимут; во втором - астрономические ко­ ординаты φ, Я, астрономический азимут а и астрономическое зе­ нитное расстояние Ζ Α. Расстояние D инвариантно к преобразо­ ванию координат.

55

Система топоцентрических координат D, A, Ζ используется для задания положения точек в локальной области. Для определе­ ния точек на всей поверхности Земли применяют полярную криво­ линейную топоцентрическую систему координат А, ψ (рис. 2.12). Азимут А в этой системе совпадает с азимутом топоцентрической системы D, A, Ζ, но вместо линейного расстояния D введено уг­ ловое расстояние ψ, равное углу между нормалями к эллипсоиду, проходящими через полюс Р системы и текущую точку Q. Норма­ ли к эллипсоиду являются скрещивающимися прямыми; угол меж­ ду ними определяется из соотношения

cosi//= lplq + mpmq + ηρηφ

где I, т, п - направляющие косинусы нормали к эллипсоиду, ниж­ ние индексы указывают на принадлежность к точкам Р и Q. Со­ гласно уравнениям (2.6)

/ = cosi? cosL,

т- cosВ sinL,

η- sini?,

поэтому

cosy/ = sioS^sini?^ + cosBpcosB4(cosLpcosLq + sinZ^sinZ^),

или

Меридиан точки P

Рис. 2.12. Полярные топоцентрические координаты А , ψ

56