Отсюда для L = 1000 км ηΐζ = 2,7 м, т.е. в самых благоприятных условиях равнинного района при передаче на сравнительно неболь­ шие расстояния ошибка аномалии высоты может быть больше допустимой для целей редуцирования. Передача аномалий высот от исходного пункта (Пулково) в восточные районы страны при L = 10 000 км вызовет ошибки в аномалиях высот не менее 8-9 м.

Астрономическое нивелирование применяют в случаях, когда расстояния между астропунктами составляют не более 1 0 - 2 0 км. Если же расстояния между пунктами велики, этот метод приводит к значительным ошибкам и поэтому при больших расстояниях меж­ ду астропунктами его не используют.

§ 51. АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ

В астрономо-гравиметрическом нивелировании используют интерполированные по гравиметрическим данным астрономо-гео­ дезические уклонения отвеса. Подставляя в выражение (8.14) укло­ нения (8 .2 0 ), получим

Первые два интеграла правой части совпадают с правой часть равенства (8.14) и определяют поэтому разность гравиметричес­ ких аномалий высоты ζΣ, обусловленных влиянием области Σ

Вычислим J AMI. Так как разность Α ϋ уклонений отвеса меня-

АВ

ется линейно, получим

ΑϋΛ +ΑϋΒ ,

|ι>Σ dl

АВ 2

Таким образом, формула астрономо-гравиметрического ниве­ лирования принимает вид

241

Введем в формулу (8.41) разности (8.19) астрономо-геодезичес­ ких и местных гравиметрических уклонений отвеса

Формулам (8.41) и (8.42) соответствуют два способа астроно­ мо-гравиметрического нивелирования, разработанные М.С. Молоденским и О.М. Остачем. В способе Молоденского формула (8.42) астрономо-гравиметрического нивелирования представлена суммой формулы (8.34) астрономического нивелирования и гравиметричес­ кой поправки

учитывающей нелинейное изменение уклонение отвеса. Способ Остача основан на формуле (8.41). В этом способе к разности гра­ виметрических аномалий высоты добавляется поправка, в которую входят разности астрономо-геодезических и гравиметрических ук­ лонений отвеса. Иными словами, в этом способе к гравиметричес­ кой разности аномалий высоты добавлен член, учитывающий не­ совпадение Αζ астрономо-геодезических и гравиметрических ано­ малий высоты

Вычисления местных гравиметрических уклонений отвеса и ано­ малий высоты в формулах (8.41) и (8.42) и поправок (8.43) и Αζ нужно выполнять с учетом аномалий силы тяжести в одной и той же области Σ для обоих астропунктов. Для вычислений гравимет­ рической поправки (8.43) Молоденским разработана методика чис­ ленного интегрирования, которая формально сводится к нахожде­ нию суммы произведений AiAgi аномалий Agi силы тяжести в выб­ ранных точках на рассчитанные заранее коэффициенты Ah где i - число точек, равное в методике Молоденского 140.

Способ Молоденского астрономо-гравиметрического нивелирования обладает высокой точностью, однако не очень удобен практически, по­ скольку достаточно трудоемок, не обладает гибкостью и дает разность аномалий высоты с точностью, зависящей от расстояния между пункта­ ми. В этом методе использована система координат, полюсы которой находятся в астропунктах, а положение несущих точек i задано точками

242

пересечения софокусных эллипсов и гипербол. Масштаб системы опре­ делен расстоянием / между астропунктами. Это приводит к тому, что фактическое расстояние между точками / и астропунктами неодинаково для разных пар астропунктов и при больших / вблизи них может полу­ читься редкая сеть несущих точек. Поскольку на гравиметрическое ук­ лонение отвеса наиболее сильно влияют ближайшие окрестности точки вычисления, это приводит к снижению точности вычисления уклонения отвеса для более длинных сторон / по сравнению с более короткими. Кро­ ме того, гравиметрическая поправка вычисляется для каждой пары аст­ ропунктов отдельно, поэтому, если какой-либо астропункт входит в не­ сколько линий нивелирования, вычисления для него нужно проводить для каждой линии отдельно.

Эти неудобства применения способа Молоденского побудили ДНИИГАиК к поискам более рациональной методики.

Гравиметрические уклонения отвеса и аномалию высоты по формулам (4.16) и (4.39) удобнее вычислять, интегрируя аномалии силы тяжести по круговой области с центром в астропункте. Такие вычисления выполнены на всех астропунктах астрономо-геодези­ ческой сети СССР, независимо от того, входит ли этот астропункт в линию астрономо-гравиметрического нивелирования или нет. Это сделано с целью интерполирования астрономо-геодезических ук­ лонений отвеса и контроля астрономических определений, ошиб­ ки которых выявляются по нелинейным, резко изменяющимся раз­ ностям Αξ, Αη астрономо-геодезических и гравиметрических укло­ нений отвеса.

Но при вычислениях аномалий высоты и уклонений отвеса с учетом аномалий силы тяжести в круговой области связи (8.7), (8 .8 ) и (8.14) нарушаются. Остач доказал, что если аномалию высоты вычислять по видоизмененной формуле Стокса

(8.45)

то зависимости между уклонениями отвеса и аномалиями высоты восстановятся, и можно находить разность аномалий высоты по формуле (8.41), S(y/G) - значение функции Стокса на границе ψ0, разделяющей ближние Σ и дальние Σ' зоны.

Выразим разности Α ϋ согласно формуле (8.23) через разности Αξ, Αη составляющих уклонения отвеса в меридиане и первом вер­ тикале. После этого в последнем члене (8.41) появятся произведе­ ния /cos А, /sin А, связанные с приращениями координат астропун­

243

ктов. Так как превышения ζΒ- ζ Α вдоль одного звена невелики и не превышают нескольких метров, при вычислении коэффициентов /cos A, /sin А можно использовать приближенные выражения

/ cos А = RAB, I sin А = R cos BmAL.

Тогда разность ΑζΒ - ΑζΛ будет равна

Α ζΒ - Α ζ Λ = - ^ Τι[(Αξ"Λ+Αξ"Β)ΑΒ'+(Αη'Α +A^B)coSBmAL'], (8.46) zp p

а формула (8.41) астрономо-гравиметрического нивелирования примет вид

ГАГ_ Г АГЪВ ЪЛ -

где ВА, La, Вв, LB - геодезические координаты астропунктов А и В

B A +B D

соответственно; ΔΒ = Вв - ВА; AL=LBLA\ Вт = — ----- —; R - сред­

ний радиус Земли.

Работы по астрономо-гравиметрическому нивелированию (АГН) начаты в СССР в 1934 г., когда Ф.Н. Красовский высказал идею косвенного интерполирования астрономо-геодезических ук­ лонений отвеса и поставил задачу использования результатов на­ чатой в 1932 г. общей маятниковой съемки страны в геодезических целях. Метод АГН предложен и разработан М.С. Молоденским, и уже в 1935-36 гг. было выполнено астрономо-гравиметрическое нивелирование по дуге меридиана Пулково-Николаев и дуге па­ раллели Орша-Челябинск. Первоначально АГН предусматривало проведение полевых астрономических определений и гравиметри­ ческих наблюдений. Так, вдоль линий АГН повышенной точности астропункты располагали через 40-50 км, а гравиметровую съемку сгущения, дополняющую маятниковую съемку, проводили в ради­ усе 50 км вокруг каждого астропункта. Это обеспечивало точность вывода гравиметрических уклонений отвеса на астропунктах с ошибками не более 0,5". В настоящее время с развитием гравиразведочных съемок надобность в дополнительных съемках сгущения отпала, а АГН стало чисто камеральным методом определения раз­ ности аномалий высоты. С 1969 г. АГН выполняли по способу Остача с использованием круговых палеток.

244

В астрономо-геодезической сети СССР линии астрономо-гра­ виметрического нивелирования образовывали систему замкнутых полигонов с периметрами от 2 000 км до 4000 км, которые уравни­ вали так же, как полигоны геометрического нивелирования. Так как первый член в выражениях (8.44) и (8.47) - это разность ζΣΒ - - ζΣΑгравиметрических аномалий высот, вычисленных отдельно для каждого астропункта, то при суммировании по замкнутому поли­ гону сумма этих разностей всегда равна нулю и не влияет на невяз­ ку полигона. Поэтому уравнивали только вторые члены ΑζΒ - ΑζΛ, обусловленные влиянием разности уклонений отвеса. Было выпол­ нено несколько циклов АГН (1969-1980,1987 и 1993 гг.), в которых использованы уточненные после уравнивания и нового редуциро­ вания геодезические и астрономические координаты. Таким обра­ зом, обработка астрономо-геодезической сети СССР выполнена согласно методике, изложенной в § 38.

§ 52. ТОЧНОСТЬ АСТРОНОМО­ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

В астрономо-гравиметрическом нивелировании используют результаты астрономических, геодезических и гравиметрических наблюдений, поэтому точность метода зависит от ошибок всех этих измерений.

Влияние дальних зон Σ' на гравиметрические аномалии высоты и уклонения отвеса линейно интерполируют между астропункта­ ми, и потому их фактическое нелинейное изменение в области σ вызовет методическую ошибку астрономо-гравиметрического ни­ велирования (области σ и Σ' показаны на рис. 8.1). Эта ошибка оценена М.С. Молоденским. Предельная случайная ошибка Δ' влияния аномалий силы тяжести в области Σ' на разность анома­ лий высоты в одном звене определяется из условия

где D - дисперсия аномалии силы тяжести на границе областей Σ и Σ' (в миллигалах); / расстояние между астропунктами в километ­ рах; р - отношение радиусов областей Σ и сг, '- в метрах. Грави­ метрические уклонения отвеса на пунктах астрономо-геодезичес­ кой сети СССР вычислены, как правило, с учетом области радиуса 305,4 км, а среднее расстояние между астропунктами равно 80 км, поэтому отношение р равно примерно 7-8. При D = 400 мгл2,

245

/ = 100 км и р = 7 |д'| <0,02 м и ошибка из-за нелинейности влия­ ния дальних зон пренебрегаема. В случае необходимости ее легко уменьшить, увеличив радиус области, учитываемой при вычисле­ нии гравиметрического уклонения отвеса.

Точность астрономо-гравиметрического нивелирования зави­ сит поэтому только от ошибок вывода местных гравиметрических аномалий высот и уклонений отвеса и астрономо-геодезических уклонений отвеса.

Оценим точность астрономо-гравиметрического нивелирова­ ния, используя выражение (8.47).

В настоящее время гравиметрические съемки позволяют вы­ числить местные гравиметрические ζΣ с сантиметровой точ­ ностью, поэтому ошибку разности t^B - ζΣΑ при оценке точности разности астрономо-геодезических аномалий высоты можно не учитывать.

Рассмотрим влияние ошибок местных гравиметрических и аст­ рономо-геодезических уклонений отвеса на точность вычисления последнего члена правой части формулы (8.47). Положим анало­ гично (8.37)

(8.48)

где της - ошибка передачи гравиметрической аномалии высоты, вызванная ошибками νηΑϋ разности местных гравиметрических и астрономо-геодезических уклонений отвеса,

™Ιϋ=”ϊ2ϋΣ +Ш\ аГ.

где τ η Σ, т#АГ- ошибки местного гравиметрического и астрономо­ геодезического уклонения отвеса соответственно.

Точность вычисления местных гравиметрических уклонений отвеса на астропунктах АТС СССР составила 0,22". Если не учи­ тывать ошибки геодезических координат, для ошибки астрономо­ геодезических уклонений отвеса получим при ηιφ= 0,3", >ηλ = 0,5"

Эта ошибка в три раза превышает ошибку местного гравимет­ рического уклонения отвеса, поэтому основным источником оши­ бок астрономо-гравиметрического нивелирования являются ошиб­ ки астрономо-геодезических уклонений отвеса. При ι η Σ = 0,22"

246