§35. РЕДУКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Вгеодезической практике существуют два вида линейных изме­ рений - базисы на поверхности Земли и отрезки между точками пространства. В триангуляции использовали, в основном, измере­ ния базисов. В настоящее время основным видом линейных изме­ рений являются измерения пространственных отрезков (наклон­ ных дальностей). Рассмотрим методику редуцирования обоих ви­ дов линейных измерений.

Редукция пространственного отрезка. Пусть измерено расстоя­ ние PQ = D (см. рис. 6.3), нужно получить длину pq геодезической линии. Редуцирование выполняют в два этапа: сначала находят хор­ ду p q - D эллипсоида и затем переходят от хорды к геодезической линии.

Редуцирование длины отрезка к хорде эллипсоида можно вы­ полнить так. Длина D связана с прямоугольными координатами X , У , Ζ , X , Υ , Z точек Р и Q известным соотношением

Используя зависимости (2.6) между прямоугольными X, У, Z и геодезическими В, L, Н координатами, можно выразить длину D отрезка через геодезические координаты точек

D2 = (N p + H p)2 +(Nq +Hq)2- 2(Np + Н р)(Nq + Hq)cos^ +

(6.16)

e

где ψ - угол между нормалями к эллипсоиду в точках Р и Q, опреде­ ляемый формулой (2.39); определена формулой (6.5).

Поскольку плановые координаты точек и их проекций на эл­ липсоид одинаковы, длину D хорды можно получить, положив в уравнении (6.16) Нр = Hq = О

Вычитая выражение (6.17) из (6.16) и используя тождество

177

получим зависимость между длиной D пространственного отрезка и хордой D эллипсоида

D 2 - D2 - {Hq - Н р)2 - 2{Hq - H p)(Nq - N p)~

(6.19)

- 4kN pNqsin2 у + 2A(Hqsin Bq - H p sin Bp),

Исключив из выражения (6.16) cosy/ с помощью равенства (6.17), находим иную запись формулы для перехода от простран­ ственного отрезка к хорде эллипсоида

(1 + k)D 2 =D2 - (H q - H p)2 - 2 (Hq - H p){Nq - N p) +

+2A(HqsinBq - H psinBp) +k[(Nq - N p)2 + ^ ( e 2 -2)]. (6'21)

Согласно уравнению (6.21) для нахождения длины хорды нуж­ но знать геодезические высоты и широты точек Р и Q.

Получим приближенную формулу редуцирования простран­ ственного отрезка. Заменим эллипсоид сферой, радиус которой равен среднему радиусу р кривизны эллипсоида в точках Р и Q в азимуте А измеренного отрезка

^ р 1 + e 2cos2 Врcos2 А ’ ^ 4 l +e'2cos2 Bqcos2 А ’

178

откуда

P 2 -{ H q - H p)2

Оценим точность формулы (6.26). Введем обозначение

Логарифмируя и дифференцируя выражение (6.28), получим

dP_ dP{

D А

Таким образом, ошибка формулы (6.26) возникает из-за заме­ ны хорды эллипсоида хордой окружности и замены радиусов кри­ визны первого вертикали средним радиусом кривизны при вычис­ лении величины к.

Ошибки dN и dN возникли из-за замены эллипсоида сферой радиуса р, поэтому d& = p - N p, dNq= p - Nq. Используя выражения (2.7) для радиуса кривизны первого вертикала и (6.22) - (6.23) для радиуса сферы, с точностью до членов порядка е2 получим

p - N = Ne2[^s\n{Bm-B )sin 2 5 -co s2 Втcos2 А],

где Вт- средняя широта отрезка.

- ^ — [jsin(Bm - Bq)sin2Bm- cos2 Bmcos2 А].

179

Положим Ν ρ в N q, s ' m ( B - B p ) = -sin(Bm- B ^ ) = sin(fi? - B p ) / 2, тогда

Λ

dk - Н« - Нр e2 sin sin 2В. (6.29)

2N

V /

Согласно этой формуле, ошибка dk зависит от превышения и длины линии (разности широт). Максимальной она будет на ши­ роте 45°, поскольку в этом случае радиусы кривизны эллипсоида изменяются наиболее быстро. На этой широте

dk = 0,5 · 10‘6 (Я - Я )sin(£y- Вр)/2,

где превышение Я - Я выражено в километрах.

Для линии длиной 2000 км {{Bq - Вр)/2= 9°) dk = 0,078 · 10'6 (Hq - Яр и даже при Hq-H p = 10 км ошибка редуцирования будет меньше 10Л Оценим разности длин хорды эллипсоида и окружности. Эта разность равна нулю, если точки Р и Q лежат на одной параллели и максимальна, когда они лежат на одном меридиане. Вычитая из длины D0 хорды окружности радиуса Мсрдлину хорды эллипсоида

(6.17), при ψ= Bq- Вр, найдем максимальное отличие

Таким образом, для расстояний до 1700 км ошибка из-за заме­ ны хорды эллипсоида хордой окружности меньше Ю-6 и ею можно пренебречь.

Для редуцирования с точностью 10-6 формулу (6.26) можно ис­ пользовать, если расстояние не превышает 1500 км, а превышение меньше 10 км.

180

Переход от хорды D эллипсоида к длине σ дуги нормального сечения или длине s геодезической линии. Будем считать, что σ и 5 равны между собой и равны длине дуги окружности радиуса р, оп­ ределенного выражениями (6.22), (6.23). Тогда

Эта формула имеет точность порядка---- , поэтому, если ошиб- р 4

ка редуцирования не должна превышать ЮЛ ее можно использо­ вать для расстояний до 200 км.

Найдем также зенитное расстояние z и азимут Apq хорды D. Обратимся вновь к рис. 6.3. Спроектируем ломаную PQOqOpHa за­ мыкающую РОр.

где zPQ- зенитное расстояние пространственного отрезка Д Нр и H(j - геодезические высоты точек Р и Q; cos допределен формулой (6.14), а функция А - формулой (6.5).

Поскольку геодезические широты и долготы точек и их проекций на эллипсоид одинаковы, для хорды эллипсоида, полагая Н = Hq - 0, получим

Dcoszpq = Nq cosy/ —N р - Asin В .

Исключая отсюда с помощью выражения (6.31) произведение A sin#p, найдем выражение, связывающее зенитное расстояние про­ странственного отрезка и хорды эллипсоида

Эта формула позволяет найти геодезическое зенитное расстоя­ ние хорды эллипсоида, если известны длина пространственного от­ резка и геодезические высоты его концов.

Получим азимут А хорды, соединяющей проекции точек Р и Q на эллипсоид. Геодезический азимут Арс} хорды D отличается от азимута ApQизмеренного отрезка D вследствие отличия плоскости PQOq, в которой лежит D , от нормальной плоскости PQOp, про­

181

ходящей через нормаль к эллипсоиду в точке Р и точку Q. Поэтому для редуцирования азимута можно воспользоваться поправкой δ2

(6.4) за высоту наблюдаемого предмета. Согласно рис. 6.3

Точная формула редукции азимута A pQ пространственного от­ резка к азимуту Apq хорды эллипсоида имеет вид [20]

sin(APQ - Apq) = -sin δ2 =

Редуцирование по этим формулам требует последовательных приближений, поскольку в правую часть формулы (6.35) входит редуцированный азимут А . Поскольку поправка <5, мала, выраже­ ние (6.35) можно упростить. Положим Np = Nq = (N + H)q= N, Apq =

= ApQ= A, COSBp= cosBq, тогда

= Lq - L p = N w s B ’ sin °1 ~ °2’ поэтомУ ПРИ сделанных предполо­ жениях формула (6.32) совпадает с (6.7).

Формулы (6.19), (6.26) и (6.32) - (6.35) решают задачу редуци­ рования пространственного отрезка к хорде эллипсоида.

182

Редукция базиса к поверхности эллипсоида. Базис в триангуля­ ции является ломаной линией, звенья которой - пролеты D бази­ са - пространственные отрезки малой длины (при измерениях ба­ зиса обычно использовали инварные проволоки длиной 24 м). На рис. 6.4. изображен один пролет базиса.

Рис. 6.4. К редуцированию базиса на поверхность эллипсоида

Базисные измерения сопровождали геометрическим нивелирова­ нием и получали проекции ΔΖ измеренных отрезков D сначала на уровенную поверхность, а затем находили длину А1оотрезка РР2, па­ раллельного эллипсоиду. После этого проектировали базис на эллип­ соид и находили хорду Δ&. Получим формулу для вычисления АЬ.

Так как точки Р и Pj близки между собой, можно не принимать во внимание непараллельность нормалей к эллипсоиду, проходящих через эти точки, и считать треугольник PPjP2 прямоугольным. Тогда

Alo = M)cos(a - ϋ 41) = AD(cosa COST}41' - sina sin^O»

где a - угол наклона; ϋΑΓ - составляющая астрономо-геодезическо­ го уклонения отвеса в азимуте отрезка РРГ

183

Согласно рис. 6.4 произведение ADcoscc равно А1, а D sina - это превышение Ah. Положив cosifu= 1, s in ta s ϋ 4Γ, получим

AIо = A I - iVrAh.

Хорду Ab найдем из пропорции

А1о/ (Я + R) = АЫ R,

откуда

Ab = Alo - Alo(H /R - (Я /Я)2),

где Я -геодезическая высота пролета; R - радиус кривизны эллип­ соида.

Введя в последнее выражение значение Δ/ο, получаем формулу для редуцирования пролета базиса к хорде эллипсоида

Ab = AI - bArAh - A/(Я /R - (Я /Я)2).

Поправку за переход от хорды к дуге можно не вводить, пото­ му что для малых расстояний эта поправка пренебрегаема. Для ре­ дуцирования всего базиса нужно найти сумму проекций его проле­ тов. Таким образом, для редуцирования измеренного базиса полу­ чаем

или, если использовать средние вдоль базиса значения $туклоне­ ния отвеса и Нтгеодезической высоты,

Согласно формуле (6.36) для определения длины b базиса на эллипсоиде нужно знать геодезическую высоту и уклонение отвес­ ной линии.

Внастоящее время базисы не измеряют. Формулы (6.26), (6.30)

и(6.36) используют для сравнения измеренного ранее базиса и на­ клонной дальности.

184