§ 21. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Фундаментальными геодезическими постоянными называют па­ раметры, однозначно определяющие отсчетное поле уровенного эллипсоида1.

Различают первичные и производные фундаментальные постоян­ ные. К первичным относят постоянные, которые существуют для реальной Земли. Это стоксовы постоянные GM, G(C - А ) и угловая скорость со вращения Земли, которая является также астрономи­ ческой фундаментальной постоянной. К первичным относят также параметр J2.

Для определения нормального поля необходимо иметь, поми­ мо трех первичных постоянных GM, G(C - А)(или / 2Х ω>еще °ДНУ постоянную, определяющую размер Нормальной Земли. В качестве четвертого параметра можно задать большую полуось а0 уровен­ ного эллипсоида, потенциал U0 на его поверхности, экваториаль­ ную силу тяжести уе. Однако у Земли нет никакой полуоси, нет и вещественной уровенной поверхности с постоянным потенциалом W0, поскольку морская топографическая поверхность отличается от уровенной. Поэтому большую полуось земного эллипсоида по­ лучают под теми или иными условиями из градусных измерений. Потенциал U0 можно принять равным среднему потенциалу W0на уровне моря; значение уе выводят по измерениям силы тяжести на поверхности Земли.

Принципы определения фундаментальных постоянных нулево­ го порядка изложены в главе 5.

Таким образом, исходными параметрами могут быть или GM, а0, G(C - А) (или J2d со или GM, U0, G( С - А), со.

Остальные постоянные, например, сжатие а уровенного эллип­ соида, его первый е и второй е эксцентриситеты, коэффициенты β и к нормальных формул называют производными или вторичны­ ми фундаментальными постоянными.

Производные фундаментальные постоянные получают для Нормальной Земли, исходя из соотношений между параметрами уровенного эллипсоида. Например, при задании постоянных GM, а0, G(C - А), со можно с помощью выражения (3.88) или (3.89) оп­ ределить линейный эксцентриситет Е, а затем все остальные. Рас­ смотрим случай, когда исходными являются GM, U0>G(C - А), со.

1 Бурила М. Фундаментальные геодезические постоянные // Геодезия и картография. - 1996. - № 5. - С. 15-22.

99

Для нахождения полуоси а0 объединим формулы (3.39) и (3.88) и найдем

а для линейного эксцентриситета Е непосредственно из формул (3.84) запишем

Эти формулы представляют собой точные замкнутые выражения для полуоси и эксцентриситета эллипсоида. Однако они неудобны для практического применения. Если же в выражении (3.39) потен­ циала на поверхности эллипсоида использовать разложение (3.34), а формулу Пицетти записать в форме (3.89), то для полуоси Ь0 и эксцентриситета Е можно получить

С помощью этих выражений полуось и эксцентриситет легко определяются совместно методом итераций.

После вычисления значений полуоси Ь0 и линейного эксцентри­ ситета Е остальные геометрические параметры определяются с по­ мощью известных в сфероидической геодезии соотношений (3.84). Экваториальную и полярную силу тяжести можно найти с помо­ щью равенств (3.57) - (3.58).

Отношение

GM/U0 = Ra

называют гравитационным масштабным множителем.

100

Обычно в геодезии исходными фундаментальными постоянны­ ми являются GM, а0, J2, ω. Для нахождения других параметров уровенного эллипсоида в этом случае так же прежде всего нужно най­ ти эксцентриситет е. Можно использовать формулу

вытекающую из фундаментальной формулы Пицетти (3.88). Пара­ метр га определен по формуле (3.45), связь первого е и второго ё эксцентриситетов приведена в выражениях (3.84).

С известными исходными значениями GM, а0, J2 ω и эксцентри­ ситетом е0 можно получить остальные постоянные. Большая полу­ ось а0 и эксцентриситет е0 позволяют найти все геометрические па­ раметры эллипсоида согласно (3.84). После этого потенциал на поверхности эллипсоида находится по формуле (3.39), а сила тяже­ сти на экваторе и полюсе эллипсоида - по (3.57) - (3.58). Можно также получить тождества, определяющие потенциал и силу тяже­ сти по четырем исходным параметрам и эксцентриситету:

Однако точные равенства не всегда удобны, поэтому обычно производные постоянные находят, используя разложения по сте­ пеням параметров ё2и т . Прежде всего следует определить экс­ центриситет е0, соответствующий заданным У2 и т . Используем для этого ряд (3.35) и формулу (3.33), с помощью которых найдем

(3 + е 2 )arctge' - Ъё = 4е'2у . П(-\)П+1 ^ 2п+\

^ί(2/ι + 1)(2/ι + 3)

При выводе этой формулы учтено, что Е/Ь = ё .

101

Запишем теперь выражение (3.92) в виде

1 - - е 2

1

В знаменателе этой формулы в скобках оставлен только член порядка е2, причем отличием первого е и второго е' эксцентрисите­ тов пренебрегаем. Запишем согласно формулам (3.84)

tt 2 = е3(1+3/2 е2+...).

Тогда с удержанием в поправочных членах величины порядка е2найдем

1

е2 = 3J2+ т

1+ — е2

14 Эксцентриситет е входит и в левую, и в правую части этого

выражения, поэтому его находят приближениями. В начальном

приближении в правой части членом | j ^ e 2 пренебрегаем, тогда

отсюда сжатие уровенного эллипсоида с учетом формул (3.84) равно

102

Постоянные G (C -A ) и J2подвержены приливным изменениям. Если бы Земля была идеально упругой, то приливные деформации полностью соответствовали бы приливному потенциалу, и потен­ циал деформированной Земли был бы равен сумме потенциалов силы тяжести и приливного. Деформации реальной Земли отлича­ ются от этого идеального случая и изменение SV потенциала силы притяжения деформированной Земли относительно потенциала притяжения Земли, изолированной в пространстве, связано с при­ ливным потенциалом соотношением

где к2 - число Лява. Согласно ряду (3.43)

где <5/ 2л - изменения коэффициентов J2nпод воздействием прилив­ ной силы.

Оценим изменение второй зональной гармоники / 2, соответ­ ствующее постоянному приливу (1.20). Подставив в соотношения (3.102) выражения для δν при г = R и П0(Р)

_ . D4 1 GmR2 .

Πо (Р) = - - — 3— Р2(sin Ф)

ср

103

и приравняв коэффициенты при полиноме Лежандра второй сте­ пени в левой и правой частях получившегося равенства, найдем

(3.103)

При к2 = 0,3, R = 6371 км, а0 = 6378 км, для Луны т/М = 1/81, 1ср = 384 400 км а/2 = 8,4 · 10'9.

Влияние постоянного лунно-солнечного прилива исключают из значения постоянной J2, полученного по наблюдениям. При этом учитывается также изменение центробежного потенциала.

Ныне действующая система фундаментальных геодезических постоянных - Геодезическая референц-система 1980 г. (ГРС-80) - принята на XVII Генеральной ассамблее Международной ассоциа­ ции геодезии (МАГ) МГГС (Канберра, 1979 г.). В число фундамен­ тальных постоянных этой системы включены также геоцентричес­ кая гравитационная постоянная атмосферы GMa и скорость света в вакууме. Включение скорости света в фундаментальные геодези­ ческие постоянные обусловлено тем, что современные линейные измерения основаны на определении времени распространения элек­ тромагнитных волн, и скорость света устанавливает линейный мас­ штаб геодезических построений (табл. 3.1).

В СССР и России в геодезических работах принят эллипсоид Красовского, а гравиметрические наблюдения обрабатывают с ис­ пользованием формулы Гельмерта, т.е. исходными постоянными являются а0 = 6 378 245 м, а = 1:298,3, уе - 978 030 мгл, β = 0,005302, = 0,000007. Включение постоянной pj высшего порядка в число исходных параметров излишне, поскольку эта постоянная одно­ значно определяется постоянными нулевого и второго порядков. Оценим остальные параметры. Из формулы Пицетти (3.79) можно

Геоцентрическую гравитационную постоянную найдем по фор­ муле Молоденского (3.85), введя в нее сжатие а и коэффициент β:

GM = %α2[1+β/3 - 2α/3 + 2ω2α0(1 - a)/3yj = 398 612,8797 км3с 2.

104