Касательные напряжения в продольных сечениях балки

, - формула Журавского, где =представляет собой статический момент относительно осиотсеченной части поперечного сечения балки.

Касательные напряжения в поперечных сечениях балки

Закон парности касательных напряжений позволяет сделать вывод о том, что и в поперечном сечении балки действуют касательные напряжения, равные напряжениям в продольном слое.

Проверка прочности и подбор сечения балки

Условие прочности при изгибе балки выполняется в том случае, если наибольшие нормальные напряжения не превышают допускаемого напряжения для материала балки.

Отношение называют моментом сопротивления изгиба и обычно записываютусловие прочности в виде:

Билет 7

1. Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения

Поверхность второго порядка задается в декартовых координатах уравнением второй степени

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Kz+L=0. (*)

Если ввести новую сис-му корд-т, осуществив 1) поворот корд-х осей, в рез-те которого нормаль к каждой из взаимно перпенд-х пл-тей симметрииповерхности станет параллельна одной из новых осей; 2) перенос начала корд-т. Тогда уравнение (*) будет определять одну из пов-тей:

1) — эллипсоид вращения 2) — гиперболоид вращения 3) — двуполосный гиперболоид 4) — конус 5) — эллиптический параболойд 6) — гиперболический параболойд

2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода

Рассмотрим мат.систему состоящ. из nматер.точек,где-коорд. точек. Будем считать, что на сист.наложены только кинетич.связи , тогда независ.пер-ыхs=3n-k–число степеней свободы. В соотв.с этим числом мы можем выбрать параметры- любой размерности, однозначно определ.полож. точек системы, тогда,

Применим общее ур-е динамики (везде x маленькое заменить X)

(ур-е Даламбера-Лагранжа)

Нам его нужно записать в обобщ коорд:подставляем:

=>

(1)

Обозначим - кинетическая энергия, тогда

. Вернёмся к уравнению

Т.к. - независ. вариации, то коэфф. приобращ. в нуль =>

- ур-е Лагранжа 2-го рода

Число уравнений таких ,-обобщ. коорд.,-обобщ. скор.,-обобщ. сила

Число уравнений = числу степеней свободы. Это ОДУ 2-го порядка с неизв. - как ф-я времени.

Частные случаи:

Действ. силы явл. потэнциальными

,, тогда

Ур-я Лагранжа для консервативных систем

,,

- ф-я Лагранжа

Первые интегралы

Предположим, ф-я Лагранжа явно от времени не зависит, зн.последнее слагаемое представляет собой полный диф-ал

3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости

Опр: жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений:

Уравнения движения идеальной жидкости и газа.

Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф.вязкости в уравнении Новье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера:-замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

Предположим, что выполняются условия: 1. движение установившееся

2. внешние силы потенциальны: 3. условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря

Интеграл Коши-Лагранжа

Предположим: 1) жидкость идеальна 2) движение не установившееся,

3) движение потенциально т.е - потенциал скоростей 4) движ-е баротропно, т.е

Вводим функцию давления

Т.к , то потенциальное течение безвихревое=>

=> =>

(из уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеко-Лэмба)=>

введем

поле скоростей не изменяется =>- интеграл Коши-Лагранжа (позволяет определить давление)

Билет 8

1. Предел последовательности функций одной и нескольких переменных. Критерий Коши существования предела последовательности функций Определение: последовательность – функция, которая каждому натуральному числу n из N ставит в соответствие элемент x_n из определённого множества. Определение: последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число а и для произвольного существует натуральное числоm такое, что для всех n>m справедливо неравенство В данном случае а – предел последовательности.

Критерий Коши. Для того чтобы функц-ная посл-тьсходилась равномернонаона была фундаментальной. Фундаментальная последовательность. Функц-ная посл-ть наз-ся фундаментальной, если,чтосразу для всех.

Предел последовательности через окрестности для одной переменной: Число называется пределом функциипри, если для любого положительного числанайдётся положительное числотакое, что значения функциипринадлежат-окрестности точкидля всехиз выколотой-окрестности точкиОпределениепредела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ, a + δ), а n–мерный открытый шар (x1 − a1)² + (x2 − a2)² + … + (xn − an)² < δ².