2. Динамические уравнения Эйлера

Постановка задачи:

На тело наложена идеальная связь, состоящая в том, что 1 точка тела неподвижна. Заданы силы, действующие на тело. Требуется определить закон движения, т.е. углы Эйлера как функции времени и реакцию связи.

Система координат является подвижной,- неподвижной.

Из теоремы об изменении кинетического момента:

Эйлер сделал два упрощения:

1.Проектируем уравнение (1) на оси подвижной системы координат :

2.Выбираем оси так, чтобы они совпали с главными осями инерции, получим:

- динамические уравнения Эйлера

Присоединяя к ним кинематические уравнения Эйлера, мы решим поставленную задачу.

- кинематические уравнения Эйлера.

Реакции определятся из уравнения , гдеопределяется по формуле Ривальса.

3. Представление решений уравнений Ламе в форме Папковича-Нейбера

Запишем систему Ламе (общий вид ур-ний и еще + 2 ур.) при х=у=z=0 в виде

- Объемное расширение

Положим =, где- пока неопределенная функция. Система Ламе имеет вид:

так как или

Общее решение , где- общее решение,- частное решение

Получим решение системы Ламе в ф. Гродского-Папковича-Нейбера

Билет 24

1. Определение и примеры конформных отображений

Опр. Отображение которое в точке сохраняет углы между кривыми, имеет постоянный коэффициент растяжения, называется конформным отображением в этой точке.

Если отображение сохраняет направление отсчета углов. То оно называется конформным отображением 1-го рода, иначе 2-го рода.

Опр. Пусть ,,наз-ся конформным в точке, если отображениеконформно в точке.

Опр. Пусть ,,наз-ся конформным в точке, если отображениеконформно в точке.

Отображение конформно в области, если оно конформно в каждой точке.

Свойства конформных отображений.

1. конформна в области, то иконформна

2. композиция конформных отображений конформна

3. конформна в области=>область

4. конформна в области биекция идиф-ма на()

5. Принцип сохранения границ

Основная задача теории конформных отображений – для заданных областей инайти конформные отображенияпри условии что.

1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и конформность следует из существования производной и не равенству её нулю.

В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точкеz=i. Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.

В точке w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить на 0 с помощью замены переменного). Таким образом, для исследования берётся функцияв точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.

2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=iz-2.

Решение. Во всех точках производная существует и не равна нулю. Приz=  , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и. В итоге, для исследования на конформность имеем функцию. Эта функция в точкеимеет производную не равную нулю.

2. Первые интегралы. Проблема 4-го интеграла. Элементарная теория гироскопа

Рассмотрим движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Система уравнений Эйлера - Пуассона:

После интегрирования данной системы мы получим как функции времени.

Из кинематических уравнений Эйлера =>отt.

Получим соотношение вида ,.

Три первых интеграла существуют всегда, это классические первые интегралы.

1. Интеграл кинетического момента

т.к. => .

Т.к. получим:

2. Интеграл энергии Предположим, что связь идеальная:

В неподвижной точке потенциальная энергия равна 0.

3. Т.к. -направляющие косинусы, то:

4. Четвертый интеграл был найден только в трех частных случаях:

- Эйлера - Пуансо, в предположении, что кинетический момент силы , центр тяжести.

- Лагранжа – Пуассона, в предположении, что и центр масс.

- Ковалевской, в предположении, что центр тяжести.