2. Устойчивость равновесия механической системы. Теорема Дирихле

Положение равновесия (i=1,N) наз-ся устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое, что для всехt>0, при

Т-ма лагранжа-дирихле. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия иммет изолированный минимум, то это положение равновесия устойчиво по ляпунову

3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении.

Внутренние усилия и характер деформаций при растяжении и сжатии абсолютно аналогичны и равноценны, а отличаются только направлением. Условимся считать положительными усилия и деформации растяжения, а при сжатии эти же величины будем считать отрицательными (- нормальная составляющая,- касательные составляющие полного напряженияp, где p=FA (A- площадь наклонного сечения (напр, рис. в), A=A₀/cosα) ).

Связь между σ_α, τ_α и наибольшим нормальным напряжением ()

Эта зависимость носит также название закона парности касательных напряжений.

Для расчета на прочность наибольший интерес представляют площадки, перпендикулярные оси, в которых действуют наибольшие нормальные напр-ия σ. Равнодействующая N этих напр-й называется продольной силой. Для определения нормальных напряжений необходимо строить эпюру продольных сил. Вектор положительной продольной силы направлен вдоль внешней нормали к площадке, т.е. «от площадки». Он вызывает растяжение стержня. Вектор отрицательной продольной силы N направлен «к площадке». Прочность детали при простом растяжении (сжатии) можно оценить, сравнивая действующие в ней максимальные напряжения с предельными напряжениями, определяемыми для данного материала экспериментальным путем. Предельными напр-ями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается , а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деф-ции - течет.Формула проверки прочности: σ = P/F ≤ [σ].Формула проверки грузоподъёмности: P ≤ [σ] F.Формула определения необходимых размеров по условию прочности: F ≥ Р/[σ].EF – жесткость, E - модуль Юнга.Проверка стрежня на жёсткость: ε = N/EF ≤ [ε].Закон Гука для стержня: ΔL = PL/EF

Билет 44

1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности. В области ,нужно найти решение дифференциального уравнения:

(1) ,(2)

(3)

Функции - считаются заданными. Введём сетку пос шагоми сетку по переменнойс шагом

Для функции , определённой в узлах сетки введём обозначения:

; ;;; Частично в дальнейшем индексы будем опускать и обозначать:;;; Рассмотрим шаблоны, по некоторым будем строить разностные уравнения, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1)

1. Явная схема	2. Чисто неявная схема
3. Симметрическая схема	4. Трёхслойная схема

Для построения разностной схемы используется шаблон,,,.в точкезаменяем разностным отношением,в точкезаменяем разностным отношением.Правую частьзаменяем приближённой функцией, где в качествеможно взять одну из следующих функций:,.

В результате такой замены получим разностное уравнение (4)

Под разностной схемой понимается совокупность разностных схем аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во внутренних точках и дополнительные начальные и граничные условия в граничных узлах сетки. Разностную схему будем называть разностной задачей. В данном случае разностная задача имеет вид:

; ;

; ;(5)

;

Разностная задача (5) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных равных количеству уравнений. Решения такой задачи нужно находить по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями,;;.

Если решение на n-ном слое известно , то решение наслое находится по явной формуле

; (6)

значения ;доопределяются из граничных условий.

Исходя из формулы (6) получается разностная схема и называется чисто явной разностной схемой.

Погрешность разностной задачи (5) определяется как разность между решением задачи (5) и решением задачи (1)-(3) в точке.Подставимв разностную систему (5). Для погрешностиполучаем разностную задачу:

; ;

; ;;

- погрешность аппроксимации разностной задачи (5) на решение задачи (1)-(3)

Покажем, что явную разностную схему можно применять в случае если , то есть шаг по времени оказывается достаточно малым. Часто используют метод гармоник. Он заключается в том, что рассматривается однородное разностное уравнение, соответствующее уравнению (5)

(8)

При этом решение разностного уравнения (8) ищется в виде (9)

Здесь - мнимая единица,- произвольное любое действительное число,- число подлежащее определению. Подставляя (9) в (8) и сокращая на, получимоткуда получаем, где(10)

Обозначим через начальное условие .Если для некоторого числамножительстанет больше единицы, то решения вида (10) будут неограниченно возрастать при, то в этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым. Еслидля всех, то все решения вида (9) будут ограниченны и в этом случае разностное уравнение (8) называетсяустойчивым. В случае неустойчивости найти решение задачи (5) по формулам (6) почти невозможно, так как погрешность округления внесённых в начальный момент времени будут неограниченно возрастать при неограниченном возрастании . Такие разностные схемы называютсянеустойчивыми. Разностные схемы устойчивые лишь при некоторых ограничениях на отношение шагов по пространству и времени называются условно устойчивыми. Разностные схемы, устойчивые при любых шагах иназываютсяабсолютно устойчивыми.