3. Кручение призматических стержней произвольного постоянного поперечного сечения

Рассмотрим призматический стержень длиной L с произвольным постоянным поперечным сечением. Боковая поверхность свободна от напряжений. К основаниям стержня приложена пара моментов величины M. Объемных сил нет. Пусть точка O – любая точка поперечного сечения. Воспользуемся принципом Сен-Венана и сделаем предположения относительно деформации.

А. Поперечное сечение при поворачивается вокруг осиотносительно сеченияна угол, гденеизвестно

Б. Если то

Находим

Пусть угол поворота мал

Тогда

Итак

Находим компоненты тензора малых деформаций по формуле

Подставляем потом в закон Гука и находим напряжения

Подставляем в ур-я равновесия

далее следовательно

Граничные условия на С,

ГУ: при

1-й подход (хватит и одного!)

Пусть тогда(10)

ГУ перепишем в виде

(11)

Заметим что

на С (12)

Функция Ф наз-ся функцией кручения

Задача (10-12) наз-ся граничной задачей Неймана

Т.о Ф –гармоническая ф-я в с определенной нормальной производной на С. Проинтегрируем 12 на С

Получаем (13)

М-но док-ть что из условия 13 следует, что функция Ф находится однозначно с точностью до произвольной постоянной.

Найдем крутящий момент

Используя теорему Грина имеем (13)

Где D – крутильная жесткость стержня, J – полярный момент инеции поп. сечения отн-но О

Из 13 находим и находим зн-я напряжений и тд

Билет 26

1. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора

Опр. Пусть где- обл., если, то этот предел наз производной ф-циив т, а саму ф-цию будзем называцть диф-мой в т.

Ф-ция наз диф-мой в обл , если она диф-ма в каждой т-ке этой обл.

Опр. Пусть - сход степ ряд, тогда ф-цияназ аналит. В т

Замеч. аналит в т аналит в т

Теорема 1. Если диф-ма в , то она регулярна в.

Следствие.

1) регулярна вдиф-ма в

2) Если регулярна в круге, то она представима в круге рядом Тейлорапричем ряд сх-ся в этом круге.

3) Если регулярна в т, торегулярна в некот окр-ти этой точки

Если дифма в нек окр-ти этой т-ки, то она регулярна в этой окр-ти, т.е. представима в окр-ти этой т-ки в виде сход ряда (ряда Тейлора)

Замеч. Для ф-ции вещ перем это вообще говоря неверно.

2. Принцип Остроградского-Гамильтона

Вариационные принципы состоят в том, что вводится некоторая функция, зависящая от координат и их производных, которая на действительном движении достигает экстремума. Эта функция должна быть задана на каком-то классе движений. Этот класс называется классом возможных или кинематически допустимых движений.

1835г. - Гамильтон сформулировал для стационарных связей.

1848г. – Остроградский обобщил для любых связей.

Это интегральный вариационный принцип.

Пусть в течение времени система переходит из положения А в положение В.

.

Траектория, которую опишет изображение точки, называется прямой путь. Любой другой путь называется окольным путем. Кинематически допустимыми являются все возможные перемещения системы из А в В, происходящие за один и тот же момент времени .

Получим функционал, который на прямом пути достигает экстремума, исходя из уравнений Лагранжа 2-го рода.

Рассмотрим движение голономной системы с идеальными связями и потенциальными силами.

, где-число степеней свободы. Домножим наи сложим:

и (все окольные пути проходящие через точки А и В).

, где (действие по Гамильтону).

Принцип: Действительное движение голономной системы между двумя заданными конфигурациями отличается от всех кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и в тот же промежуток времени тем, что для действительного движения вариация действия по Гамильтону равна 0. Или другими словами действие по Гамильтону на действительное движение имеет стационарное значение.

Замечание: Принцип Остроградского-Гамильтона может быть обобщен и на случай неконсервативных систем и на случай неголономных систем с линейными кинематическими связями.